Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 150]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116705

Темы:   [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Формула включения-исключения ] [ Композиции симметрий ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 11

После обеда на прозрачной квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади S. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна S₁. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна S. Какое наименьшее значение может принимать величина  S₁ : S?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79340

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Найти наименьшее n такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения n треугольников. Докажите, что для меньших n это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109738

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На прямой выбрано 100 множеств A₁, A₂, .. , A100 , каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A₁, A₂, .. , A100 является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35558

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ] [ Принцип крайнего ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Пусть M – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M.
Какое наибольшее число элементов может быть в M?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115450

Темы:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Из ряда натуральных чисел вычеркнули все числа, которые являются квадратами или кубами целых чисел.
Какое из оставшихся чисел стоит на сотом месте?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 150]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями