Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 121]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65408

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Деление с остатком ] [ Произведения и факториалы ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Первоначально на доске написано число 2004!. Два игрока ходят по очереди. Игрок в свой ход вычитает из написанного числа какое-нибудь натуральное число, которое делится не более чем на 20 различных простых чисел (так, чтобы разность была неотрицательна), записывает на доске эту разность, а старое число стирает. Выигрывает тот, кто получит 0. Кто из играющих – начинающий или его соперник – может гарантировать себе победу, и как ему следует играть?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65740

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Натуральное число N представляется в виде  N = a₁ – a₂ = b₁ – b₂ = c₁ – c₂ = d₁ – d₂,  где a₁ и a₂ – квадраты, b₁ и b₂ – кубы, c₁ и c₂ – пятые степени, а d₁ и d₂ – седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел a₁, b₁, c₁ и d₁ найдутся два равных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76475

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Число e ] [ Произведения и факториалы ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Что больше: 300! или 100³⁰⁰?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105179

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Деление с остатком ] [ Произведения и факториалы ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Назовём натуральное число разрешённым, если оно имеет не более 20 различных простых делителей. В начальный момент имеется куча из 2004! камней. Два игрока по очереди забирают из кучи некоторое разрешённое количество камней (возможно, каждый раз новое). Побеждает тот, кто заберёт последние камни. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116706

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Простые числа и их свойства ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 5- Классы: 11

Обозначим через  S(n, k)  количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена  (x + 1)ⁿ  по степеням x.
  а) Найдите  S(2012, 3).
  б) Докажите, что  S(2012²⁰¹¹, 2011)  делится на 2012.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 121]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями