Страница:
<< 94 95 96 97
98 99 100 >> [Всего задач: 549]
На шахматной доске N×N стоят N² шашек. Можно ли их переставить так, чтобы любые две шашки, отстоявшие на ход коня, после перестановки отстояли друг от друга лишь на ход короля (то есть стояли рядом)? Рассмотрите два случая:
а) N = 3;
б) N = 8.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Имеется прямоугольная доска m×n, разделённая на клетки 1×1. Кроме того, имеется много косточек домино размером 1×2. Косточки уложены на доску, так что каждая косточка занимает две клетки. Доска заполнена не целиком, но так, что сдвинуть косточки невозможно (доска имеет бортики, так что косточки не могут выходить за пределы доски). Докажите, что число непокрытых клеток
а) меньше mn/4;
б) меньше mn/5.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В соревновании участвуют 32 боксёра. Каждый боксёр в течение одного дня
может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу,
и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 15 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день
соревнований не изменяется.)
а) На две клетки шахматной доски выставляются чёрная и белая фишки. Разрешается по очереди передвигать их, каждым ходом сдвигая очередную фишку на любое свободное соседнее поле по вертикали или горизонтали. Могут ли на доске в результате таких ходов встретиться все возможные позиции расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?
б) А если разрешается сдвигать фишки в любом порядке (не обязательно по очереди)?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Лёша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать,
называя двузначные числа. Если Гриша правильно называет число, или же одну
цифру называет правильно, а в другой ошибается не более чем на единицу,
то Лёша отвечает "тепло"; в остальных случаях Лёша отвечает "холодно".
(Например, если задумано число 65, то назвав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша
услышит в ответ "тепло", а в остальных случаях услышит "холодно".)
а) Покажите, что нет способа, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 18 попыток.
б) Придумайте способ, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 24 попытки (какое бы число ни задумал Лёша).
в) А за 22 попытки получится?
Страница:
<< 94 95 96 97
98 99 100 >> [Всего задач: 549]
Фильтр
