Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки A1 и C1 соответственно. Отрезки AC1 и CA1 пересекаются в точке P . Описанные окружности треугольников  AA1P и CC1P вторично пересекаются в точке Q , лежащей внутри треугольника  ACD . Докажите, что PDA= QBA .

Вниз   Решение


Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем BM = 3AM и CN = 3AN. Докажите, что MN || BC и найдите MN, если BC = 12.

ВверхВниз   Решение


Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:
  а) меньше 4/5;
  б) меньше 4/7?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

На плоскости дан квадрат и точка Р. Могут ли расстояния от точки Р до вершин квадрата оказаться равными 1, 1, 2 и 3?

ВверхВниз   Решение


Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 секунд и затратил 25 секунд, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Докажите, что АВ > AD.

ВверхВниз   Решение


Вдоль дорожки между домиками Незнайки и Синеглазки росли в ряд цветы: 15 пионов и 15 тюльпанов вперемешку. Отправившись из дома в гости к Незнайке, Синеглазка поливала все цветы подряд. После 10-го тюльпана вода закончилась, и 10 цветов остались не политыми. Назавтра, отправившись из дома в гости к Синеглазке, Незнайка собирал для неё все цветы подряд. Сорвав 6-й тюльпан, он решил, что для букета достаточно. Сколько цветов осталось расти вдоль дорожки?

ВверхВниз   Решение


В вершинах шестиугольника ABCDEF (см. рис.) лежали 6 одинаковых на вид шариков: в A — массой 1 г, в B — 2 г, ..., в F — 6 г. Шутник поменял местами два шарика в противоположных вершинах. Имеются двухчашечные весы, позволяющие узнать, в какой из чаш масса шариков больше. Как за одно взвешивание определить, какие именно шарики переставлены?

ВверхВниз   Решение


  Пусть 2S – суммарный вес некоторого набора гирек. Назовём натуральное число k средним, если в наборе можно выбрать k гирек, суммарный вес которых равен S. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то сумма трёх его медиан не меньше, чем учетверённый радиус описанной окружности.

ВверхВниз   Решение


Разрежьте изображённый на рисунке пятиугольник на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.

Вверх   Решение

Задача 97793
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Правильный тетраэдр ]
[ Линейные зависимости векторов ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры  MK1, MK2, ..., MKn  к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что      (O – центр n-угольника).

б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна     где O – центр тетраэдра.


Решение

  а) Пусть Li – середины сторон n-угольника.     где Pi – проекция точки M на прямую OLi. Как известно (см. задачи 55719,
55373 а),  
    где Qi – точка, симметричная M относительно прямой OLi. Заметим, что точки Qi получаются друг из друга поворотом на /n  вокруг точки O (например, Q2 получается из Q1 композицией двух симметрий относительно прямых OL1 и OL2, то есть поворотом на удвоенный угол между этими прямыми). Таким образом, Qi – вершины правильного многоугольника с центром O (число его сторон равно n, если n нечётно, и n/2, если n чётно; при  n = 4  получается отрезок). Следовательно,     также равна 0, а     что и доказывает утверждение.

  б) Пусть Li – центр грани, противоположной вершине Ai тетраэдра A1A2A3A4, Pi – проекция M на OLi. Как и в а),
 
  Заметим, что     линейно зависит от вектора     (это просто проекция). Следовательно, и     линейно зависит от

.   Но при  M = A1  три слагаемых обращаются в нуль, и  
  Аналогичное равенство выполняется для каждой вершины тетраэдра, значит, оно верно и для любой точки M (поскольку вектор    есть линейная комбинация векторов   ).

Замечания

1. За каждый пункт давалось по 14 баллов, за оба пункта – 20.

2. Пункт б) можно свести к а) – см. Решения задачника "Кванта" (задача М807) – но при этом доказательство станет сложнее.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1982/1983
Номер 4
вариант
Вариант 9-10 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .