Версия для печати
Убрать все задачи

---

Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон.
Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.

   Решение

---

Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 222 ореха по двум коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 222. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую третью коробочку и предъявить Чичикову одну или две коробочки, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв.

   Решение

---

Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.

   Решение

---

Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.

   Решение

---

Внутри угла расположены две окружности с центрами A и B. Они касаются друг друга и двух сторон угла.
Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.

   Решение

---

В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой стороны лежит наименьший угол треугольника.

   Решение

---

В треугольнике ABC точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Известно, что  ∠AC'B' = ∠B'A'C,  ∠CB'A' = ∠A'C'B,  ∠BA'C' = ∠C'B'A.  Докажите, что точки A', B', C' – середины сторон треугольника ABC.

   Решение

---

В некоторых клетках квадрата 11×11 стоят плюсы, причём всего плюсов чётное количество. В каждом квадратике 2×2 тоже чётное число плюсов.
Докажите, что чётно и число плюсов в 11 клетках главной диагонали квадрата.

   Решение

---

Существуют ли такие две функции  f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
  а)  f(f(x)) = x,  g(g(x)) = x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?
  б)  f(f(x)) < x, g(g(x)) < x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?

   Решение

---

D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

   Решение

---

На длинной скамейке сидели мальчик и девочка. Затем по одному пришли ещё 20 детей, и каждый садился между какими-то двумя уже сидящими. Назовём девочку отважной, если она садилась между двумя соседними мальчиками, а мальчика – отважным, если он садился между двумя соседними девочками. В итоге оказалось, что мальчики и девочки на скамейке чередуются. Можно ли наверняка сказать, сколько отважных среди детей на скамейке?

   Решение

---

Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q (P – на прямой BM, Q – на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.

   Решение

---

Из центра O правильного n-угольника A₁A₂...A_n проведены n векторов в его вершины. Даны такие числа  a₁, a₂, ..., a_n,  что
a₁ > a₂ > ... > a_n > 0.  Докажите, что линейная комбинация векторов     отлична от нулевого вектора.

   Решение

---

Найдите геометрическом место ортоцентров (точек пересечения высот) всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность.

   Решение

---

Треугольник ABC вписан в окружность. Точка A₁ диаметрально противоположна точке A, точка A₀ – середина стороны BC, точка A₂ симметрична точке A₁ относительно точки A₀. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что точки A₂, B₂ и C₂ совпадают.

   Решение

---

Угол при вершине A равнобедренного треугольника ABC  (AB = AC)  равен 20°. На стороне AB отложим отрезок AD, равный BC. Найдите угол BCD.

   Решение

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Угол при вершине A равнобедренного треугольника ABC  (AB = AC)  равен 20°. На стороне AB отложим отрезок AD, равный BC. Найдите угол BCD.

Решение 1

Поочерёдно построим на сторонах AB и AC точки E, F и G так, что  BC = CE = EF = FG  (см. рис. слева). Получатся равнобедренные треугольники BCE (с углом 20° при вершине E), CEF (с углом 60° при основании CF), EFG (с углом 100° при вершине F) и FGA (с углами 20° при основании FA).
AG = AD,  поэтому точка G совпадает с точкой D. Так как треугольник CEF равносторонний, то треугольник CFG равнобедренный с углом 10° при основании, и  ∠BCD = ∠BCG = 80° – 10° = 70°.

Решение 2

На высоте AH данного треугольника отметим такую точку M, что треугольник BMC – равносторонний (рис. в центре). Треугольники ABM и CAD равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому   ∠ACD = ∠BAM = 10°.  Следовательно,  ∠BCD = ∠BCA – ∠ACD = 80° – 10° = 70°.

Решение 3

Построим треугольник ACF, равный треугольнику BAC (рис. справа). Тогда треугольник ADF равносторонний, а CD – серединный перпендикуляр к отрезку AF, т.е. биссектриса угла ACF. Значит,  ∠ACD = 10°.  Далее как в решении 2.

Ответ

70°.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования