Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Решите в целых числах уравнение (x² – y²)² = 1 + 16y.
Определите угол A между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из
вершины A, равна .
а) Наконец, у Снежной Королевы появились все квадраты с целыми сторонами, но каждый в единственном экземпляре. Королева пообещала Каю, что он станет мудрым, если сможет из каких-то имеющихся квадратов сложить прямоугольник. Сможет ли он это сделать?
б) Отдыхая, Кай стал заполнять стеклянный аквариум ледяными кубиками, которые лежали рядом. Кубики были самых разных размеров, но среди них не было двух одинаковых. Сможет ли Кай заполнить аквариум кубиками целиком?
На сторонах треугольника ABC как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники ABD , BCE и ACF . Докажите, что отрезки DE и BF равны и перпендикулярны.
Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы
относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной
равна 6 . Найдите периметр фигуры, образованной
внешними касательными и внешними частями окружностей.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Точки K , L , M и N лежат на сторонах AB , BC , CD и AD соответственно, причём точка O лежит на отрезках KM и LN и делит их пополам. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Через точку на ребре треугольной пирамиды проведены две плоскости, параллельные двум граням пирамиды. Эти плоскости отсекают две треугольные пирамиды. Разрежьте оставшийся многогранник на две треугольные призмы.
На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:
- Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1 ;
- Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1 , n-2 .
В треугольнике ABC сторона AC наименьшая. На сторонах AB и CB взяты точки K и L соответственно, причём KA = AC = CL. Пусть M – точка пересечения AL и KC, а I – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Докажите, что прямая MI перпендикулярна прямой AC.
|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC сторона AC наименьшая. На сторонах AB и CB взяты точки K и L соответственно, причём KA = AC = CL. Пусть M – точка пересечения AL и KC, а I – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Докажите, что прямая MI перпендикулярна прямой AC.
Решение
AI и CI – биссектрисы углов A и C. Пусть прямые AI и CK пересекаются в точке X, а прямые CI и AL – в точке Y. Поскольку треугольник KAC – равнобедренный (AC = AK по условию задачи), то его биссектриса AX является высотой. Значит, AX – высота треугольника AMC. Аналогично CY – высота этого треугольника. Итак, I – точка пересечения высот треугольника AMC. Следовательно, MI ⊥ AC.
