Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что abc = 4prR и  ab + bc + ca = r2 + p2 + 4rR.

Вниз   Решение


Около окружности описан четырёхугольник. Его диагонали пересекаются в центре этой окружности. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

ВверхВниз   Решение


Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

ВверхВниз   Решение


Найдите наименьшую величину выражения   + + ... + .

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее $3/7$ фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин.

ВверхВниз   Решение


На столе лежат две стопки монет: в одной из них 30 монет, а в другой - 20. За ход разрешается взять любое количество монет из одной стопки. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из игроков выигрывает при правильной игре?

ВверхВниз   Решение


В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей, $P$ – произвольная точка на отрезке $OI$, точки $P_A$, $P_B$ и $P_C$ – вторые точки пересечения прямых $PA$, $PB$ и $PC$ с окружностью $ABC$. Докажите. что биссектрисы углов $BP_AC$, $CP_BA$ и $AP_CB$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой $OI$.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  $ {\frac{1}{ab}}$ + $ {\frac{1}{bc}}$ + $ {\frac{1}{ca}}$ = $ {\frac{1}{2Rr}}$.

ВверхВниз   Решение


На доске написаны числа 1 и 2. Каждый день научный консультант Выбегалло заменяет два написанных числа на их среднее арифметическое и среднее гармоническое.
а) Однажды одним из написанных чисел (каким — неизвестно) оказалось 941664/665857. Каким в этот момент было другое число?
б) Будет ли когда-нибудь написано число 35/24?

ВверхВниз   Решение


Выбежав после уроков на двор, каждый школьник кинул снежком ровно в одного другого школьника.
Докажите, что всех учащихся можно разбить на три команды так, что члены одной команды друг в друга снежками не кидали.

ВверхВниз   Решение


Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P   (P ≠ H).  Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC, в котором  AB > BC.  Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.

ВверхВниз   Решение


Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD взята такая точка P, что  ∠PBA = ∠PCD = 90°.  Точка M – середина стороны AD, причём  BM = CM.
Докажите, что  ∠PAB = ∠PDC.

ВверхВниз   Решение


Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M.
Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны отношения  AB : DC = 1 : 2  и  BD : AC = 2 : 3.  Найдите DA : BC.

Вверх   Решение

Задача 108456
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны отношения  AB : DC = 1 : 2  и  BD : AC = 2 : 3.  Найдите DA : BC.


Подсказка

Пусть прямые AD и BC пересекаются в точке K. Тогда треугольник KAC подобен треугольнику KBD, а треугольник KAB – треугольнику KCD.


Решение

  Пусть прямые AD и BC пересекаются в точке K (они не могут быть параллельными, так как  AB ≠ CD).  Тогда треугольники KAC и KBD подобны по двум углам. Значит,   KC : KD = AC : BD = 3 : 2.  Треугольники KAB и KCD также подобны по двум углам. Значит,  KB : KD = KA : KC = AB : CD = 1 : 2,  поэтому  KD = 2KB,  KC = 3KB,  KA = 3/2 KB,  BC = 2KBAD = ½ KB.
  Следовательно,  AD : BC = 1 : 4.


Ответ

1 : 4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1332

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .