Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Провести хорду данной окружности, параллельную данному диаметру, так, чтобы эта хорда и диаметр были основаниями трапеций с наибольшим периметром.
Решите систему уравнений:
xy(x + y) = 30
x³ + y³ = 35.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Докажите, что если вершины A и C некоторого прямоугольника ABCD лежат на окружности S1, а вершины B и D – на окружности S2, то точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на прямой MN.
Боковая грань образует с плоскостью основания правильной шестиугольной пирамиды угол 60o . Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна ,
а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60o . Найдите
объём пирамиды.
Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение
где a1 , a2 , a50 , b1 , b2 , b50 – различные числа?
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна ,
а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60o . Найдите
площадь сечения, проведённого через вершину пирамиды и меньшую
диагональ основания.
На доске выписано (n – 1)n выражений: x1 – x2, x1 – x3, ..., x1 – xn, x2 – x1, x2 – x3, ..., x2 – xn, ..., xn – xn–1, где n ≥ 3. Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо (x1 – x2) +
(x2 – x3) Лёша запишет x1 – x3, а вместо (x1 – x2) + (x2 – x1) он запишет 0).
Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите радиус вписанной сферы.
Найдите угол между гранями правильного тетраэдра.
Тетраэдр называется равногранным, если все его грани – равные между собой треугольники. Докажите, что если достроить равногранный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей, то получится прямоугольный параллелепипед,
Даны точки A(- 2;0), B(1;6), C(5;4) и D(2; - 2). Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.
В пространстве проведены три прямые, не лежащие в одной плоскости. но при этом никакие две не являются скрещивающимися. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку либо параллельны.
|
|
 |
Условие
В пространстве проведены три прямые, не лежащие в одной
плоскости. но при этом никакие две не являются скрещивающимися.
Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку либо
параллельны.
Решение
Пусть a , b и c – данные прямые. Через прямые a и b проведём плоскость α (это можно сделать, т.к. прямые a и b не являются скрещивающимися). Ясно, что прямая c не может лежать в плоскости α , т.к. по условию задачи прямые a , b и c не лежат в одной плоскости. Если прямая c пересекает плоскость α в точке A (рис.1), то точка A должна лежать на прямой a , т.к. в противном случае прямые c и a – скрещивающиеся (признак скрещивающихся прямых). Аналогично, точка A лежит на прямой b . Следовательно, все три прямые проходят через точку A . Если прямая c параллельна плоскости α (рис.2), то плоскость β , проведённая через прямые a и c , пересекается с плоскостью α по прямой a1 , параллельной прямой c , а т.к. прямая a1 совпадает с прямой a (пересечением двух плоскостей является прямая), то прямая c параллельна прямой a . Аналогично, прямая c параллельна прямой b . Следовательно, все три прямые параллельны.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8138 |
