Из точки A проведены к окружности две касательные (M и N – точки касания) и секущая, пересекающая эту окружность в точках B и C, а хорду MN – в точке P,  AB : BC = 2 : 3.  Найдите  AP : PC.

   Решение

Основание прямой призмы KLMNK1L1M1N1 – ромб KLMN с углом 60^o при вершине K . Точки E и F – середины рёбер LL1 и LM призмы. Ребро SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD ( S – вершина) лежит на прямой LN , вершины D и B – на прямых MM1 и EF соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если SA=2AB .

   Решение

Высота конуса с вершиной O равна 4, образующая конуса равна 5. Пирамида ABCD вписана в конус так, что точки A и C принадлежат окружности основания, точки B и D принадлежат боковой поверхности, причём точка B принадлежит образующей OA . Треугольники OAC и OBD – равносторонние, причём OB=3 . Найдите объём пирамиды, двугранный угол при ребре AB и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD .

   Решение

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD с острым углом при вершине A . Высота ромба равна 4, точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех граней пирамиды. Найдите объём пирамиды, если расстояние от центра сферы до прямой AC равно AB .

   Решение

Известно, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника ABC относительно стороны BC , лежит на описанной окружности этого треугольника. Найдите угол A .

   Решение

Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 6, угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен arccos . Точки B1 и C1 – середины рёбер BD и CD соответственно, CA1 – высота в треугольнике ACD . Найдите: 1) угол между прямыми BC и A1C1 ; 2) площадь треугольника A1B1C1 ; 3) расстояние от точки C до плоскости A1B1C1 ; 4) радиус вписанного в пирамиду A1B1C1D шара.

   Решение

Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 3, двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды равен arccos . Точки A1 и C1 – середины рёбер AD и CD соответственно, AB1 – высота в треугольнике ABD . Найдите: 1) угол между прямыми AC и A1B1 ; 2) площадь треугольника A1B1C1 ; 3) расстояние от точки A до плоскости A1B1C1 ; 4) радиус вписанного в пирамиду A1B1C1D шара.

   Решение

Основание прямой призмы PQRP1Q1R1 – треугольник PQR , в котором PQR = 90^o , PQ:QR=1:3 . Точка K – середина катета PQ и LM призмы. Ребро AB правильной треугольной пирамиды ABCD ( A – вершина) лежит на прямой PR , вершины C и D – на прямых P1K и QQ1 соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если AB:CD=2:3 .

   Решение

Точка M взята на стороне AC равностороннего треугольника ABC, а на продолжении стороны BC за точку C отмечена точка N, причём  BM = MN.
Докажите, что  AM = CN.

   Решение

В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы, для которых сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.

   Решение

Через середину ребра AC правильной треугольной пирамиды SABC (S – вершина) проведены плоскости α и β, каждая из которых образует угол 30° с плоскостью ABC. Найдите площади сечений пирамиды SABC плоскостями α и β, если эти сечения имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани ABC, а плоскость α перпендикулярна ребру SA.

   Решение

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Правильная пирамида ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Средняя линия треугольника ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Симметрия относительно плоскости ] [ Площадь трапеции ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Через середину ребра AC правильной треугольной пирамиды SABC (S – вершина) проведены плоскости α и β, каждая из которых образует угол 30° с плоскостью ABC. Найдите площади сечений пирамиды SABC плоскостями α и β, если эти сечения имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани ABC, а плоскость α перпендикулярна ребру SA.

Решение

  Пусть O – центр основания ABC, N, E, M – середины рёбер AB, BC, AC соответственно, K – точка пересечения плоскости α с ребром AS.
  Средняя линия MN равностороннего треугольника ABC перпендикулярна медиане AE и, следовательно, ребру AS (по теореме о трёх перпендикулярах). Значит, плоскость α пересекает плоскость основания пирамиды по прямой MN. По условию  MN = 1  (откуда  BC = 2).  По теореме о площади проекции

  По условию задачи обе плоскости сечения проходят через прямую MN, значит, сечения симметричны относительно плоскости ASE. Следовательно, сечение пирамиды плоскостью β – равнобедреная трапеция MPQN (P и Q – точки пересечения этой плоскости с боковыми рёбрами CS и BS). Пусть L и T – середины оснований MN и PQ этой трапеции.
  Заметим, что  ∠SAE = 90° – ∠SAE = 60°.  Пусть     Тогда  AO = 2h,  AS = 2h : cos 60° = 4h.  Согласно задаче 56798 длина биссектрисы AF треугольника ASE равна     Поскольку  ∠TLE = 30°,  то LT – средняя линия треугольника FAE, поэтому
LT = ½ AF = ⁶/₇.
  По свойству биссектрисы  SF : FE = AS : AE = 4 : 3.  Значит,  TE = ½ FE = ³/₁₄ SE.
  Из подобия треугольников SPQ и SCB находим, что  PQ = BC·^ST/_SE = 2·¹¹/₁₄ = ¹¹/₇.  Следовательно,  S_MPQN = ½ (MN + PQ)·LT = ½ (1 + ¹¹/₇)·⁶/₇ = ⁵⁴/₄₉.

Ответ

³/₈, ⁵⁴/₄₉.

Источники и прецеденты использования