Проведена окружность S с центром в вершине C равнобедренного треугольника ABC ( AC=BC ). Радиус окружности меньше AC . Найдите на этой окружности такую точку P , чтобы касательная к окружности, проведённая в этой точке, делила пополам угол APB .

   Решение

В треугольник ABC со сторонами  AB = 6,  BC = 5,  AC = 7  вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне AC, одна на стороне AB и одна на стороне BC. Через середину D стороны AC и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой BH в точке M. Найдите площадь треугольника DMC.

   Решение

В трапеции ABCD с меньшим основанием BC и площадью, равной 4, прямые BC и AD касаются окружности диаметром 2 в точках B и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна . Найдите величину угла MBN и длину основания AD .

   Решение

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Найдите её длину, если BC = CE, площадь треугольника ADE равна площади треугольника CDE, площадь треугольника ABC равна площади треугольника BCD, а 3AC + 2BD = 5.

   Решение

В описанном пятиугольнике ABCDE диагонали AD и CE пересекаются в центре O вписанной окружности.
Докажите, что отрезок BO и сторона DE перпендикулярны.

   Решение

В трапеции ABCD с большим основанием BC и площадью, равной 4 , прямые BC и AD касаются окружности диаметром 2 в точках B и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна . Найдите величину угла MDN и длину основания BC .

   Решение

Докажите, что площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

   Решение

В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.
Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)

   Решение

Куб размером 3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?

   Решение

На сторонах BC и CD ромба ABCD взяли точки P и Q соответственно так, что  BP = CQ.
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника APQ лежит на диагонали BD ромба.

   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AM и CN пересекаются в точке D под прямым углом. Найдите все углы треугольника ABC и площадь четырёхугольника NBMD, если основание AC = 1.

   Решение

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро AA1 также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы 60^o . Найдите диагональ BD1 .

   Решение

В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно,  ∠A = 35°,  ∠D = 145°,  а площадь треугольника BCE равна 11. Найдите площадь пятиугольника ABCDE.

   Решение

ABCDE — правильный пятиугольник. Tочка B' симметрична точке B относительно прямой AC (см. рисунок). Mожно ли пятиугольниками, равными AB'CDE, замостить плоскость?

   Решение

Любознательный турист хочет прогуляться по улицам Старого города от вокзала (точка A на плане) до своего отеля (точка B). Турист хочет, чтобы его маршрут был как можно длиннее, но дважды оказываться на одном и том же перекрестке ему неинтересно, и он так не делает. Нарисуйте на плане самый длинный возможный маршрут и докажите, что более длинного нет.

   Решение

В равностороннем (неправильном) пятиугольнике ABCDE угол ABC вдвое больше угла DBE. Найдите величину угла ABC.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равностороннем (неправильном) пятиугольнике ABCDE угол ABC вдвое больше угла DBE. Найдите величину угла ABC.

Решение

  Пусть углы при основании BE равнобедренного треугольника ABE равны α, а углы при основании BD равнобедренного треугольника BCD равны β. Из условия следует, что  α + β = ∠DBE.  Значит,
∠AED + ∠CDE = (α + ∠BED) + (β + ∠BDE) = (α + β) + (∠BED + ∠BDE) = ∠DBE + (180° – ∠DBE) = 180°.
  Следовательно,  AE || CD,  а так как  AE = CD,  то ACDE – параллелограмм, поэтому  AC = DE = AB = BC.  Значит, треугольник ABC – равносторонний, и   ∠ABC = 60°.

Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования