Четырёхугольник описан около окружности. Докажите, что прямые, соединяющие соседние точки касания и не пересекающиеся в одной из этих точек, пересекаются на продолжении диагонали или параллельны ей.

   Решение

На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

   Решение

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.

   Решение

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади K.

   Решение

Докажите, что  + + = .

   Решение

ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что  m_a² + m_b² > 29r².

   Решение

Являются ли подобными два прямоугольника: картина в рамке и картина без рамки, если ширина рамки всюду одинакова (см. рис.)?

   Решение

Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

   Решение

Пусть E и F — середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми AE, ED, BF и FC, если известно, что площадь ABCD равна S.

   Решение

Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой.

   Решение

Дана неравнобокая трапеция ABCD. Точка A₁ – это точка пересечения описанной окружности треугольника BCD с прямой AC,
отличная от C. Аналогично определяются точки B₁, C₁, D₁. Докажите, что A₁B₁C₁D₁ – тоже трапеция.

   Решение

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дана неравнобокая трапеция ABCD. Точка A₁ – это точка пересечения описанной окружности треугольника BCD с прямой AC,
отличная от C. Аналогично определяются точки B₁, C₁, D₁. Докажите, что A₁B₁C₁D₁ – тоже трапеция.

Решение

  Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Так как четырёхугольник A₁BCD вписан в окружность, то  BO·OD = A₁O·OC.  Аналогично
BO·OD = AO·OC₁,  AO·OC = BO·OD₁  и  AO·OC = B₁O·OD.
  Из первых двух равенств следует, что  OC : AO = OC₁ : A₁O,  из двух других –  BO : OD = B₁O : OD₁.
  Условие параллельности сторон BC и AD трапеции ABCD можно записать в виде  BO : OD = OC : AO  (из подобия треугольников BOC и DOA).
  Но тогда  BO₁ : OD₁ = OC₁ : A₁O,  то есть  B₁C₁ || A₁D₁.
  Аналогично проверяем, что из непараллельности сторон AB и CD следует непараллельность сторон A₁B₁ и C₁D₁.
  Таким образом, A₁B₁C₁D₁ – трапеция.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования