Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём
меняется в зависимости от времени t по закону
а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
В остроугольном треугольнике KLN высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла K пересекает отрезок OH в такой точке M, что OM : MH = 3 : 1. Найдите площадь треугольника KLN, если LN = 4, а разность углов L и N равна 30o.
Доказать, что выражение
равно 2, если 1<= a <= 2 , и равно 2
Из имеющихся последовательностей {bn} и {cn} (возможно, {bn} совпадает с {cn}) разрешается получать последовательности
{bn + cn},
{bn – cn}, {bncn} и {bn/cn} (если все члены последовательности {cn} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {an}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
а) an = n²;
б)
в)
Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение х4 – 4х3 + 6х² + aх + b = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))
Петя тратит ⅓ своего времени на игру в футбол, ⅕ – на учебу в школе, ⅙ – на просмотр кинофильмов, 1/70 – на решение олимпиадных задач и ⅓ – на сон. Можно ли так жить?
Докажите, что на графике функции y = x³ можно отметить такую точку A, а на графике функции y = x³ + |x| + 1 – такую точку B, что расстояние AB не превышает 1/100.
Для натурального n обозначим Sn = 1! + 2! + ... + n!. Докажите, что при некотором n у числа Sn есть простой делитель, больший 102012.
В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла A проходит через середину отрезка OH. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = 2, а разность углов B и C равна 30o.
Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P(m) + P(n) = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика y = P(x) есть центр симметрии.
|
|
 |
Условие
Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P(m) + P(n) = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика y = P(x) есть центр симметрии.
Решение
Рассмотрим многочлен Pa(x) = P(a + x) + P(a – x). Знак коэффициента этого многочлена при xk совпадает со знаком k-й производной функции Pa при x = 0. При чётном k эта производная равна 2P(k)(a), а при нечётном – нулю. В свою очередь знак P(k)(a) при больших a совпадает со знаком старшего коэффициента многочлена P.
Итак, при достаточно большом по модулю a все коэффициенты многочлена Pa при нечётных степенях равны нулю, а при чётных – одного знака. Следовательно, корней он не имеет.
Если P(m) + P(n) = 0, то число x = ½ (m – n) является корнем многочлена Pa, где a = ½ (m + n). Это значит, что сумма m + n = 2a ограничена по модулю. Поэтому одно из значений 2a этой суммы встречается бесконечно много раз.
Таким образом, соответствующий многочлен Pa имеет бесконечно много корней, то есть он тождественно равен нулю.
Но равенство P(– x + a) ≡ – P(x + a) и означает, что график многочлена P симметричен относительно точки (a, 0).
Замечания
1. 9 баллов.
2. Обсуждение задачи см. в решениях Задачника "Кванта", задача М2120.
