ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи В тетраэдре ABCD плоские углы BAD и BCD – тупые. Сравните длины ребер AC и BD. Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник. Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2p равносторонний имеет наибольшую плошадь. Рассматриваются такие квадратичные функции f(x) = ax² + bx + c, что a < b и f(x) ≥ 0 для всех x. Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1.
Докажите неравенство:
В равнобочной трапеции ABCD угол при основании AD равен
arcsin Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки,
лежащие на соседних гранях, соединили отрезком. Точка K – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС. На катетах АС и ВС выбраны точки М и N соответственно так, что угол МKN – прямой. Докажите, что из отрезков АМ, ВN и MN можно составить прямоугольный треугольник. В данную окружность вписать прямоугольник так, чтобы две данные точки внутри окружности лежали на сторонах прямоугольника. Можно ли из 13 кирпичей 1×1×2 сложить куб 3×3×3 с дыркой 1×1×1 в центре?
В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов. Из точки D окружности S опущен перпендикуляр DC на диаметр AB . Окружность S1 касается отрезка CA в точке E , а также отрезка CD и окружности S . Докажите, что DE — биссектриса треугольника ADC . Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S1 касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N . Докажите, что а) прямая MN проходит через середину P второй дуги; б) длина касательной PQ к окружности S1 равна PA . |
Задача 111699
Условие
Хорда AB разбивает окружность S на две дуги.
Окружность S1 касается хорды AB в точке M
и одной из дуг в точке N . Докажите, что
а) прямая MN проходит через середину P второй дуги;
б) длина касательной PQ к окружности S1 равна PA .
Решение
а) Пусть O и O1 — центры окружностей S и S1
соответственно. Поскольку OP=ON и O1M = O1N (радиусы
одной окружности), треугольники OPN и O1MN —
равнобедренные, причём OPN — их общий угол при основаниях.
Следовательно, точки N , M и P лежат на одной прямой.
Другой способ. Расмотрим гомотетию с центром в точке N
касания окружностей, переводящую окружность S1 в
окружность S . Касательная AB к окружности S1
перейдёт в параллельную ей касательную l к окружности
S , касательная, параллельная хорде AB , делит дугу
AB пополам. Тогда точка M перейдёт в середину
P дуги AB , не содержащей точку N . Следовательно,
прямая MN проходит через середину P этой дуги.
б) Продолжим радиус OP окружности S до пересечения с
хордой AB в точке K . Тогда K — середина хорды AB .
Применив теорему о касательной и секущей, теорему о произведении
отрезков пересекающихся хорд и теорему Пифагора, получим, что
Следовательно, PQ=AP . Другой способ. Продолжим PO до пересечения с окружностью S в точке L . Прямоугольные треугольники PKM и PNL подобны, поэтому Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке