Версия для печати
Убрать все задачи

---

При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство

sin nα + sin nβ + sin nγ<0?

   Решение

---

Докажите, что для всех x(0;) при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство

2| sinⁿ x- cosⁿ x| 3| sin^m x- cos^m x|;

   Решение

---

Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .

   Решение

---

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

   Решение

---

На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что  ∠AKB = ∠ADC.  Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.

   Решение

Темы:    [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что  ∠AKB = ∠ADC.  Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.

Решение

В треугольниках ABK и ACD углы AKB и ADC равны по условию, а  ∠ABK = ∠ABD = ∠ACD  как вписанные; значит, эти треугольники подобны. Следовательно, треугольник ABK переходит в треугольник ACD при поворотной гомотетии с центром A (то есть при повороте на угол BAC и последующей гомотетии с коэффициентом ^AC/_AB). При этой поворотной гомотетии точка I' переходит в точку I (так как I' и I – соответственные точки подобных треугольников ABK и ACD), поэтому  ∠I'AI = ∠BAC  и  ^AI/_AI' = ^AC/_AB.  Значит, треугольник AII' подобен треугольнику ACB, откуда
∠AIX = ∠AII' = ∠ACB.  Но  ∠ACB = ∠ADB,  откуда  ∠AIX = ∠ADX;  это и означает, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования