Выбрано 16 задач 
Убрать все задачи
В стране 1988 городов и 4000 дорог.
Докажите, что можно указать кольцевой маршрут, проходящий не более, чем через 20 городов (каждая дорога соединяет два города).
Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты, одна из которых фальшивая: она легче настоящих (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω1 и ω2, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω3 и ω4 также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω3 и ω4 тоже касаются.
Точки A и B лежат в плоскости α , M – такая точка в пространстве, для которой AM = 2 , BM = 5 и ортогональная проекция на плоскость α отрезка BM в три раза больше ортогональной проекции на эту плоскость отрезка AM . Найдите расстояние от точки M до плоскости α .
На рисунке изображен график функции y = x² + ax + b. Известно, что прямая AB перпендикулярна прямой y = x.
Найдите длину отрезка OC.
На кольцевой дороге через равные промежутки расположены 25 постов, на каждом стоит полицейский. Полицейские пронумерованы в каком-то порядке числами от 1 до 25. Требуется, чтобы они перешли по дороге так, чтобы снова на каждом посту был полицейский, но по часовой стрелке за номером 1 стоял номер 2, за номером 2 стоял номер 3, ..., за номером 25 стоял номер 1. Докажите, что если организовать переход так, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим, то кто-то из полицейских останется на своём посту.
Целые числа a, b и c таковы, что числа a/b + b/c + c/a и a/с + с/b + b/a тоже целые. Докажите, что |a| = |b| = |c|.
У Винтика и у Шпунтика есть по три палочки суммарной длины 1 метр у каждого. И Винтик, и Шпунтик могут сложить из трёх своих палочек треугольник. Ночью в их дом прокрался Незнайка, взял по одной палочке у Винтика и у Шпунтика и поменял их местами. Наутро оказалось, что Винтик не может сложить из своих палочек треугольник. Можно ли гарантировать, что Шпунтик из своих — сможет?
В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность с центром O, которая касается стороны AB в точке E. На продолжении стороны AC за точку A выбрана точка D так, что AD = ½ AC. Докажите, что прямые DE и AO параллельны.
В остроугольном треугольнике ABC на высоте BH выбрана произвольная точка P. Точки A' и C' – середины сторон BC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A' на CP, пересекается с перпендикуляром, опущенным из C' на AP, в точке K. Докажите, что точка K равноудалена от точек A и C.
Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.
Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.
Функция f каждому вектору v (с общим началом в точке O) пространства ставит в соответствие число f(v), причём для любых векторов u, v и любых чисел α, β значение f(αu + βv) не превосходит хотя бы одного из чисел f(u) или f(v). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?
Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 симметричны точкам A1, B1, C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке.
На стороне AB треугольника ABC взята такая точка P, что AP = 2PB, а на стороне AC – ее середина, точка Q. Известно, что CP = 2PQ.
Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой. Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.
|
|
 |
Условие
На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой.
Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.
Решение
Лемма. Пусть в семействе прямоугольников любые два можно пересечь вертикальной прямой. Тогда их все можно пересечь вертикальной прямой.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольник с самой левой правой границей и прямоугольник с самой правой левой границей. По условию их можно пересечь прямой. Тогда у любого из оставшихся прямоугольников левая граница будет левее этой прямой, а правая – правее, то есть прямая пересечет все прямоугольники. Лемма доказана.
Перейдем к решению задачи. Предположим противное. Назовем два прямоугольника разделенными, если их нельзя пересечь вертикальной прямой. Рассмотрим все пары разделенных прямоугольников. В каждой паре рассмотрим прямую, на которой лежит самая нижняя из их горизонтальных сторон; пусть h – самая высокая из этих прямых. Возможны два случая.
1. Пусть не существует пары разделенных прямоугольников, лежащих ниже h . Проведем прямую h и рассмотрим все прямоугольники, не пересеченные ею. Если среди них нет пары разделенных, то по лемме их можно пересечь вертикальной прямой, и утверждение задачи доказано. Пусть такая пара прямоугольников (A,B) нашлась (см. рис.) . Тогда по предположению один из них (скажем, A ) лежит выше h . Из выбора h теперь следует, что нижняя сторона прямоугольника B лежит ниже h , а значит, и весь он лежит ниже h . Значит, эти прямоугольники нельзя пересечь ни вертикальной, ни горизонтальной прямой – противоречие.
2. Пусть существует пара (C,D) разделенных прямоугольников, лежащих ниже h . По выбору h , существуют также два разделенных прямоугольника A и B , лежащие не ниже h . Будем считать, что прямоугольник A лежит левее, чем B , а прямоугольник C – левее, чем D . Пусть для определенности правая сторона A находится не правее, чем правая сторона C (см. рис.) . Тогда прямоугольники A и D также разделены, при этом один из них лежит не ниже h , а другой – ниже h . Значит, эти два прямоугольника нельзя пересечь ни вертикальной, ни горизонтальной прямой. Противоречие.
