Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD с основаниями BC и AD , причём BC:AD = 2:5 . Диагонали трапеции пересекаются в точке E , а центр O вписанной в пирамиду сферы лежит на отрезке SE и делит его в отношении SO:OE = 7:2 . Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если площадь боковой грани SBC равна 8.

   Решение

Даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом в точке A); из точки B большей окружности, диаметрально противоположной точке A, проведена касательная BC к меньшей окружности. Прямые BC и AC пересекает большую окружность в точках D и E соответственно. Докажите, что дуги DE и BE равны.

   Решение

В саду растут яблони и груши — всего 7 деревьев (деревья обоих видов присутствуют). Ближе всех к каждому дереву растет дерево того же вида и дальше всех от каждого дерева растет дерево того же вида. Приведите пример того, как могут располагаться деревья в саду.
Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся для каждого из них.

   Решение

Бабе-Яге подарили большие песочные часы на 5 минут и маленькие – на 2 минуты. Зелье должно непрерывно кипеть ровно 8 минут. Когда оно закипело, весь песок в больших часах находился в нижней половине, а в маленьких – какая-то (неизвестная) часть песка в верхней, а остальная часть – в нижней половине. Помогите Бабе-Яге отмерить ровно 8 минут.
(Песок все время сыплется с постоянной скоростью. На переворачивание время не тратится.)

   Решение

В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты такие точки X и Y, что  ∠ABX = ∠YAC,  ∠AYB = ∠BXC,  XC = YB.  Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

Найдите числа, равные удвоенной сумме своих цифр.

   Решение

Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.

   Решение

Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?

   Решение

Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого? (Стрелки часов движутся с постоянной скоростью.)

   Решение

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Из точки Q пустили в каждую из окружностей по одному лучу, которые отражаются от окружностей по закону "угол падения равен углу отражения". Точки касания траектории первого луча – A₁, A₂, ..., второго – B₁, B₂, ... . Оказалось, что точки A₁, B₁ и P лежат на одной прямой. Докажите, что тогда все прямые A_iB_i проходят через точку P.

   Решение

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Из точки Q пустили в каждую из окружностей по одному лучу, которые отражаются от окружностей по закону "угол падения равен углу отражения". Точки касания траектории первого луча – A₁, A₂, ..., второго – B₁, B₂, ... . Оказалось, что точки A₁, B₁ и P лежат на одной прямой. Докажите, что тогда все прямые A_iB_i проходят через точку P.

Решение

При отражении лучей от окружностей выполняются условия  QA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = ...  и QB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = ... . Значит,
∠(PQ, PA₁) = ∠(PA₁, PA₂) = ∠(PA₂, PA₃) = ...  и  ∠(PQ, PB₁) = ∠(PB₁, PB₂) = ∠(PB₂, PB₃) = ...  (углы ориентированные). Кроме того, так как точки A₁, B₁, P лежат на одной прямой, то  ∠(PQ, PA₁) = ∠(PQ, PB₁).  Следовательно, при любом i имеем  ∠(PA_i–1, PA_i) = ∠(PB_i–1, PB_i),  откуда по индукции получаем, что точки A_i, B_i, P лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования