С помощью волшебного банкомата можно поменять любую купюру на любое конечное число купюр меньшего достоинства. Получив 1000 франков одной бумажкой, сможете ли Вы каждый месяц платить квартплату? (Дело происходит в Швейцарии, где квартплата постоянна, а жизнь бесконечна.)

   Решение

В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что каждый город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими, и из каждого города можно попасть в любой другой, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее количество городов может быть в этом государстве?

   Решение

На биссектрисе AL треугольника ABC , в котором AL=AC , выбрана точка K таким образом, что CK=BL . Докажите, что CKL= ABC .

   Решение

По кругу расставлены цифры 1, 2, 3,..., 9 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трёхзначное число. Найдите сумму всех девяти таких чисел. Зависит ли она от порядка, в котором записаны цифры?

   Решение

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, BAC = 45^o. Прямая MN пересекает сторону AC в точке M, а сторону BC — в точке N, AM = 2 ^. MC, NMC = 60^o. Найдите отношение площади треугольника MNC к площади четырёхугольника ABNM.

   Решение

M – произвольная точка на стороне AC треугольника ABC . Доказать, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABM и BCM , не зависит от выбора точки M на стороне AC .

   Решение

На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002.
Какие числа остались на доске?

   Решение

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁.  Пусть O_A, O_B и O_C – центры описанных окружностей треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника O_AO_BO_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Может ли горящая в комнате свеча не освещать полностью ни одну из её стен, если в комнате а) 10 стен, б) 6 стен?

   Решение

По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N , N2 . При этом для любой пары соседних чисел имеется хотя бы одна цифра, встречающаяся в десятичной записи каждого из них. Найдите наименьшее возможное значение N .

   Решение

Айрат выписал подряд все числа месяца: 123456789101112... и покрасил три дня (дни рождения своих друзей), никакие два из которых не идут подряд. Оказалось, что все непокрашенные участки состоят из одинакового количества цифр. Докажите, что первое число месяца покрашено.

   Решение

В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E , что AB=AD и BE=EC ( E между A и D ). Точка F – середина дуги BC (не содержащей точки A ) окружности, описанной около треугольника ABC . Докажите, что точки B , E , D и F лежат на одной окружности.

   Решение

Когда Незнайку попросили придумать задачу для математической олимпиады в Солнечном городе, он написал ребус (см. рисунок). Можно ли его решить? (Разным буквам должны соответствовать разные цифры.)

   Решение

Даны две точки и окружность. С помощью циркуля и линейки проведите через данные точки две секущие, хорды которых внутри данной окружности были бы равны и пересекались бы под данным углом α .

   Решение

На стороне KL треугольника KLM, в котором KL = LM, LKM = 30^o, взята точка A, а на стороне KM — точка B так, что MB = 3 ^. BK, ABK = 60^o. Найдите отношение площади четырёхугольника ALMB к площади треугольника ABK.

   Решение

С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный параллелограмм.

   Решение

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный параллелограмм.

Решение

Пусть вершины K , L , M и N квадрата KLMN лежат на сторонах соответственно AB , BC , CD и AD параллелограмма ABCD (вершины перечислены по часовой стрелке). Известно, что в таком случае центры квадрата и параллелограмма совпадают. Пусть O — их общий центр. При повороте на угол 90^o вокруг точки O квадрат KLMN переходит в себя. Вершина N , лежащая на стороне AD параллелограмма, переходит в вершину M , лежащую на стороне CD . При этом прямая AD переходит в перпендикулярную ей прямую, проходящую через точку M .
Отсюда вытекает следующий способ построения. Повернём на 90^o прямую AD вокруг центра O параллелограмма. Получим прямую, перпендикулярную AD . Если эта прямая пересекает сторону CD в точке M , то M — вершина искомого квадрата. Тогда прямая MO пересекает сторону AB в противоположной вершине K искомого квадрата. Прямая, проходящая через точку O перпендикулярно KM , пересекает стороны противоположные стороны AD и BC данного параллелограмма в вершинах N и L искомого квадрата. Если образ прямой AD при рассматриваемом повороте не пересекает отрезок CD , то задача не имеет решений.

Источники и прецеденты использования