На стороне AC треугольника ABC взята точка A₁, а на продолжении стороны BC за точку C взята точка C₁, длина отрезка A₁C равна 85% длины стороны AC, а длина отрезка BC₁ равна 120% длины стороны BC. Сколько процентов площади треугольника ABC составляет площадь треугольника A₁BC₁?

   Решение

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

   Решение

Найти натуральное наименьшее целое число n такое, что n делится на 19, а n+2 делится на 82.

   Решение

Найти такое трёхзначное число, удвоив которое, мы получим число, выражающее количество цифр, необходимое для написания всех последовательных целых чисел от единицы до этого искомого трёхзначного числа (включительно).

   Решение

В треугольнике ABC угол C – прямой. Из центра C радиусом AC описана дуга, пересекающая гипотенузу в точке D, а катет CB – в точке E.
Найдите угловые величины дуг AD и DE, если  ∠B = 40°.

   Решение

В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, за победу давалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Назовём команду успешной, если она набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в турнире?

   Решение

У квадратного уравнения  x² + px + q = 0  коэффициенты p и q увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.

   Решение

Дано трёхзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые.
Доказать, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7 сумма второй и третьей цифр.

   Решение

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.

   Решение

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.

Решение

Пусть H – точка пересечения высот AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC, ∠A₁C₁B₁ = 90°, A₁B₁ = 10; A₂, B₂, C₂ – точки пересечения продолжений высот соответственно AA₁, BB₁, CC₁ с окружностью, описанной около треугольника ABC. Тогда A₁, B₁, C₁ – середины отрезков HA₂, HB₂, HC₂. Значит, A₁B₁, B₁C₁, A₁C₁ – средние линии треугольников A₂HB₂, B₂HC₂, A₂HC₂, поэтому стороны треугольника A₂B₂C₂ соответственно параллельны сторонами треугольника A₁B₁C₁, причём A₂B₂ = 2A₁B₁, A₂C₂ = 2A₁C₁, B₂C₂ = 2B₁C₁. Следовательно, треугольник A₂B₂C₂ также прямоугольный и его гипотенуза A₂B₂ вдвое больше A₁B₁, т.е равна 20. Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника A₂B₂C₂ (а значит, и около треугольника ABC), равен 10.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования