На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Даны 4 точки: A, B, C, D. Найти такую точку O, что сумма расстояний от неё до данных точек минимальна.

   Решение

В описанном четырёхугольнике ABCD  AB = CD ≠ BC.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.

   Решение

Постройте правильный десятиугольник.

   Решение

Прямая, проходящая через вершину A квадрата ABCD, пересекает сторону CD в точке E и прямую BC в точке F. Докажите, что  ¹/_AE² + ¹/_AF² = ¹/_AB².

   Решение

Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (a, b)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля  (a, b)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (a ± m, b ± n),  (a ± n, b ± m),  где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.

   Решение

а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

   Решение

11 пионеров занимаются в пяти кружках дома культуры. Докажите, что найдутся два пионера А и В такие, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.

   Решение

Докажите неравенство для натуральных n:  

   Решение

Докажите неравенство:  2ⁿ > n.

   Решение

При каких n многочлен  (x + 1)ⁿ + xⁿ + 1  делится на:
  а)  x² + x + 1;    б)  (x² + x + 1)²;    в)   (x² + x + 1)³?

   Решение

Докажите, что уравнение  ¹/_x – ¹/_y = ¹/_n  имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда n – простое число.

   Решение

Тема:    [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что уравнение  ¹/_x – ¹/_y = ¹/_n  имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда n – простое число.

Решение

  Если  n = pq  (p, q > 1),  то  ¹/_n = ¹/_n–1 – ¹/_n(n–1)  и  ¹/_n = ¹/_p(q–1) – ¹/_pq(q–1).
  Если же n – простое, то  n(y – x) = xy,  и значит, xy делится на n. Поскольку  x < n,  y делится на n:  y = kn.  Тогда  x = ^kn/_k+1,  откуда  k = n – 1,  то есть имеется ровно одно решение:  (n – 1, n(n – 1)).

Источники и прецеденты использования