Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Рассматривается последовательность 1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, 1/7, ... Существует ли арифметическая прогрессия
а) длины 5;
б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?
Каждая из двух равных окружностей ω1 и ω2 проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω1, а прямые AC, BC касаются ω2.
Докажите, что cos∠A + cos∠B = 1.
Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.
Даны две концентрические окружности S1 и S2. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.
Центр круга – точка с декартовыми координатами (a, b). Известно, что начало координат лежит внутри круга. Обозначим через S+ общую площадь частей круга, состоящих из точек, обе координаты которых имеют одинаковый знак; а через S– – площадь частей, состоящих из точек с координатами разных знаков. Найдите величину S+ – S–.
Пять отрезков провели (не отрывая карандаша от бумаги) так, что получилась пятиугольная звезда, разделённая проведёнными отрезками на пять треугольников и пятиугольник. Оказалось, что все пять треугольников равны. Обязательно ли пятиугольник правильный?
Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира: 2021:43 = 47. Сколько ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительное явление?
Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого
является число +
.
Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике A1A2...A12 диагонали A1A5, A2A6, A3A8 и A4A11 пересекаются в одной точке.
Доказать, что можно так расположить числа от 1 до n² в таблицу n×n, чтобы суммы чисел каждого столбца были равны.
Кузнечик прыгает по прямой. В первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее.
Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.
Даны 103 монеты одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Отделить фальшивые монеты не требуется.)
Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8, чтобы они не били друг друга?
|
|
 |
Условие
Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8, чтобы они не били друг друга?
Решение
Очевидно, что в каждом столбике из восьми кубиков-клеток может стоять только одна ладья, поэтому больше 64 ладей поставить нельзя.
Покажем, как поставить 64 ладьи, чтобы они не били друг друга. Введём систему координат с осями, направленными вдоль ребер куба так, чтобы каждая клетка имела координатами тройку (x, y, z) чисел от 0 до 7 и поставим ладьи в клетки, сумма координат которых делится на 8.
Предположим, какие-то две ладьи бьют друг друга. Значит, две их координаты (скажем, x и y) совпадают, а третьи – различны (обозначим их z1 и z2). Суммы x + y + z1 и x + y + z2, а значит, и их разность z1 – z2 кратны 8. Но это невозможно, так как z1 и z2 – различные неотрицательные числа, меньшие 8.
Заметим теперь, что в каждом вертикальном столбике находится по ладье, то есть что мы поставили 64 ладьи. Действительно, каждый такой столбик определяется своей парой координат x и y. Координата z для ладьи в этом столбике однозначно задается условием x + y + z ≡ 0 (mod 8).
Ответ
64 ладьи.
