Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.

   Решение

Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 2 и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30°. Найдите диагональ, проведённую из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами.

   Решение

На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что  AP : AD = 1 : n,  Q – точка пересечения прямых AC и BP.
Докажите, что  AQ : AC = 1 : (n + 1).

   Решение

На сторонах произвольного треугольника ABC вне его построены равнобедренные треугольники A'BC, AB'C и ABC' с вершинами A', B' и C' и углами , и  при этих вершинах, причем + + = 2. Докажите, что углы треугольника A'B'C' равны /2, /2, /2.

   Решение

В равнобедренном прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 2.
Найдите расстояние от вершины острого угла до точки, в которой вписанная окружность касается противолежащего этому углу катета.

   Решение

Докажите, что     при  x ≥ 0.

   Решение

Радиусы двух окружностей равны 27 и 13, а расстояние между центрами равно 50. Найдите длины их общих касательных.

   Решение

Про последовательность x₁, x₂, ..., x_n, ... известно, что для любого n > 1 выполнено равенство 3x_n - x_{n - 1} = n. Кроме того, известно, что | x₁| < 1971. Вычислить x₁₉₇₁ с точностью до 0, 000001.

   Решение

Найти на плоскости точку, сумма расстояний от которой до четырёх заданных точек минимальна.

   Решение

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC , пересекая сторону AB в точке E и сторону BC в точке F . Угол AEC в 5 раз больше угла BAF , а угол ABC равен 72^o . Найдите радиус окружности, если AC = 6 .

   Решение

На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.

   Решение

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Неравенства с углами ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Общие четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.

Подсказка

Из непокрытой точки каждая сторона была бы видна под острым углом, что невозможно.

Решение

Предположим, что некоторая точка, расположенная внутри данного четырёхугольника, не принадлежит ни одному из указанных кругов. Тогда из этой точки диаметр каждого круга виден под острым углом. Поскольку четырёхугольник выпуклый, то сумма этих четырёх углов должна быть равна 360^o, что невозможно, т.к. по предположению каждый из углов меньше 90^o.

Источники и прецеденты использования