В угол вписаны две окружности; у них есть общая внутренняя касательная T₁T₂ (T₁ и T₂ — точки касания), которая пересекает стороны угла в точках A₁ и A₂. Докажите, что A₁T₁ = A₂T₂ (или, что эквивалентно, A₁T₂ = A₂T₁).

   Решение

В окружности с центром O проведены параллельные хорды PQ и RS, диаметр SE и хорда RE. Хорда RE пересекает хорду PQ в точке F, из точки F опущен перпендикуляр FH на SE. Известно, что радиус окружности равен r, а  EH = ^3r/₈.  Найдите расстояние от середины отрезка EO до середины хорды RQ.

   Решение

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$, $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$, $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$. Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$.

   Решение

В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведены биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырёхугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b.

   Решение

Докажите, что предпоследняя цифра степени тройки всегда чётна.

   Решение

Три равных окружности S1 , S2 , S3 попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность S , которая касается всех трёх. Докажите, что для любой точки M окружности S касательная, проведённая из точки M к одной из трёх окружностей S1 , S2 , S3 , равна сумме касательных, проведённых из точки M к двум другим окружностям.

   Решение

Найдите углы треугольника, если известно, что медиана и высота, выходящие из вершины одного из его углов, делит этот угол на три равные части.

   Решение

Основание KM равнобедренного треугольника KLM является хордой окружности, центр которой лежит вне треугольника KLM. Прямые, проходящие через точку L, касаются окружности в точках P и Q. Найдите площадь треугольника PLQ, если  KL = LM = ,  ∠KLM = 2 arcsin ,  а радиус окружности
равен 1.

   Решение

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной b, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен m. Найдите основание треугольника.

   Решение

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть только на одну чашку весов?

   Решение

На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные a и b.
Найдите основание треугольника.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные a и b.
Найдите основание треугольника.

Решение

  Пусть окружность Ω, построенная как на диаметре на боковой стороне AB равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковую сторону AC в точке K, причём  CK = a,  AK = b.

  Первый способ.  ∠AKB = 90°.  По теореме Пифагора  BK² = AB² – AK² = (a + b)² – b² = a(a + 2b),   BC² = BK² – CK² = a(a + 2b) + a² = 2a(a + b).

  Второй способ. Пусть Ω пересекает основание BC в точке M. Тогда  ∠AMB = 90°, то есть AM – высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию. Значит, M – середина BC.
  Из точки C к окружности проведены две секущие, поэтому  CM·CB = CK·CA,  или  ½ CB² = a(a + b).

Ответ

  или  .

Источники и прецеденты использования