Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 10^k равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 10^{k + 1}.

   Решение

Каждая грань куба заклеивается двумя равными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой, один из которых белый, другой — чёрный. Можно ли эти треугольники расположить так, чтобы при каждой вершине куба сумма белых углов была равна сумме чёрных углов?

   Решение

Существует ли такое натуральное x, что  x² + x + 1  делится на 1985?

   Решение

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

   Решение

Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?

   Решение

В каком из выражений:  (1 – x² + x³)¹⁰⁰⁰,   (1 + x² – x³)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при x²⁰?

   Решение

Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.
Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

   Решение

На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник ромбом.

   Решение

Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?

   Решение

Дан треугольник ABC. Окружность радиуса R касается прямых AB и BC в точках A и C и пересекает медиану BD в точке L, причём  BL = ⁵/₉ BD.
Найдите площадь треугольника.

   Решение

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Окружность радиуса R касается прямых AB и BC в точках A и C и пересекает медиану BD в точке L, причём  BL = ⁵/₉ BD.
Найдите площадь треугольника.

Решение

  Поскольку BA = BC,  то треугольник ABC – равнобедренный. Его медиана BD является высотой и биссектрисой. Поэтому центр O данной окружности лежит на луче BD.
  Обозначим  BL = 5x.  Тогда  BD = 9x,  DL = 4x,  OD = R – 4x.
  Как известно,  OС² = ОB·BL,  то есть R² = (R + 5x)(R – 4x).
  Отсюда  x = ^R/₂₀.  Следовательно,  BD = ^9R/₂₀,  OD = ^4R/₅,  AC² = 4CD² = 4OB·BD = ^36R/₂₅,  S_ABC = ½ AC·BD = ^27R²/₁₀₀.

Ответ

^27R²/₁₀₀.

Источники и прецеденты использования