В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.

   Решение

Среди всех многоугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.

   Решение

На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA построены полуокружности S₁, S₂, S₃ по одну сторону от AC. D — такая точка на S₃, что BD AC. Общая касательная к S₁ и S₂, касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно.
а) Докажите, что прямая EF параллельна касательной к S₃, проведенной через точку D.
б) Докажите, что BFDE — прямоугольник.

   Решение

На шахматной доске 8×8 отмечены центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми, не проходящими через эти центры, разбить доску на части так, чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной точки?

   Решение

На плоскости дано 25 точек, причем среди любых трех из них найдутся две на расстоянии меньше 1. Докажите, что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек.

   Решение

Постройте четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность, зная длины двух соседних сторон AB и AD и углы при вершинах B и D.

   Решение

По кругу стоят мальчики и девочки (есть и те, и другие), всего 20 детей. Известно, что у каждого мальчика сосед по часовой стрелке – ребёнок в синей футболке, а у каждой девочки сосед против часовой стрелки – ребёнок в красной футболке. Можно ли однозначно установить, сколько в круге мальчиков?

   Решение

В треугольнике ABC высота AM не меньше BC, а высота BH не меньше AC. Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

Окружность S касается равных сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что середина отрезка PK является центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Какую фигуру образует множество всех вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание?

   Решение

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Какую фигуру образует множество всех вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание?

Подсказка

Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Ответ

Прямая без точки.

Источники и прецеденты использования