Версия для печати
Убрать все задачи

---

Hа доске была нарисована система координат и отмечены точки  A(1, 2)  и  B(3, 1).  Cистему координат стерли.
Bосстановите ее по двум отмеченным точкам.

   Решение

---

Bыпуклый n-угольник P, где  n > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник вписанный?

   Решение

---

Две окружности w₁ и w₂ пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l₁ и l₂ (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l₂ и l₁, вторично пересекают окружности w₁ и w₂ соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C₁; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B₁. Докажите, что  B₁C₁ || AD.

   Решение

---

Два равносторонних треугольника ABC и CDE имеют общую вершину (см. рис). Найдите угол между прямыми AD и BE.

   Решение

---

Дан квадратный лист бумаги со стороной 1. Отмерьте на этом листе расстояние ⅚ (лист можно сгибать, в том числе, по любому отрезку с концами на краях бумаги и разгибать обратно; после разгибания на бумаге остаётся след от линии сгиба).

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC  ∠ABC = 20°.  На равных сторонах CB и AB взяты соответственно точки P и Q так, что  ∠PAC = 50°  и  ∠QCA = 60°.
Докажите, что  ∠PQC = 30°.

   Решение

---

Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.

   Решение

---

Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой KO, где K — точка Лемуана, O — центр описанной окружности.

   Решение

---

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на описанной окружности этого треугольника.

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на описанной окружности этого треугольника.

Подсказка

Пусть H₁ – точка пересечения продолжения высоты AA₁ треугольника ABC с описанной окружностью. Докажите, что треугольник HBH₁ – равнобедренный.

Решение

   Для прямоугольного треугольника утверждение очевидно.
   Пусть ABC – остроугольный треугольник, H – точка пересечения его высот, H₁ – точка пересечения продолжения отрезка AH за точку H с описанной окружностью треугольника ABC. Тогда  ∠BH₁H = ∠BH₁A = ∠ACB = ∠BHH₁  (стороны последних двух углов взаимно перпендикулярны).
   Поэтому треугольник HBH₁ – равнобедренный. Следовательно, перпендикуляр BC к его стороне HH₁ проходит через середину отрезка HH₁, то есть точка H₁ симметрична точке H относительно прямой BC.

   Аналогично проводится доказательство для тупоугольного треугольника.

Замечания

См. также задачу 55597. Ср. с задачей 78187.

Источники и прецеденты использования