Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вася шёл от дома до автобусной остановки пешком со скоростью 4 км/ч, затем ехал на автобусе до школы со скоростью 30 км/ч и затратил на весь путь 1 час. Обратно из школы он ехал на автобусе со скоростью 36 км/ч и шёл пешком от остановки до дома со скоростью 3 км/ч. На обратную дорогу он потратил 1 час 5 мин. Найти путь, который Вася проехал на автобусе, и расстояние от дома до остановки.

   Решение

---

В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей указанным свойством.

   Решение

---

Даны 12 чисел, a₁, a₂,...a₁₂, причём имеют место следующие неравенства:

Доказать, что среди этих чисел найдётся по крайней мере 3 положительных и 3 отрицательных.

   Решение

---

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство  P(x) > x.  Определим последовательность {b_n} следующим образом:  b₁ = 1,  b_k+1 = P(b_k)  для  k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {b_n}, делящийся на d. Докажите, что  P(x) = x + 1.

   Решение

---

Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.

   Решение

---

Куб 3×3×3 составлен из 14 белых и 13 чёрных кубиков со стороной 1. Столбик – это три кубика, стоящих рядом вдоль одного направления: ширины, длины или высоты. Может ли быть так, что в каждом столбике
  а) нечётное количество белых кубиков?
  б) нечётное количество чёрных кубиков?

   Решение

---

Построить треугольник по основанию, высоте и разности углов при основании.

   Решение

---

Докажите, что  6r a + b.

   Решение

---

Докажите, что  2bc cos/(b + c) < b + c - a < 2bc/a.

   Решение

---

Докажите, что

   Решение

---

На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая, проведенная через точку P, пересекает окружность в точках A и B. Докажите, что произведение  PA ^. PB не зависит от выбора прямой.

   Решение

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая, проведенная через точку P, пересекает окружность в точках A и B. Докажите, что произведение  PA ^. PB не зависит от выбора прямой.

Решение

Проведем через точку P другую прямую, пересекающую окружность в точках A₁ и B₁. Тогда  PAA₁ PB₁B, поэтому  PA : PA₁ = PB₁ : PB.

Источники и прецеденты использования