Версия для печати
Убрать все задачи

---

Hа доске была нарисована система координат и отмечены точки  A(1, 2)  и  B(3, 1).  Cистему координат стерли.
Bосстановите ее по двум отмеченным точкам.

   Решение

---

Bыпуклый n-угольник P, где  n > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник вписанный?

   Решение

---

Две окружности w₁ и w₂ пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l₁ и l₂ (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l₂ и l₁, вторично пересекают окружности w₁ и w₂ соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C₁; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B₁. Докажите, что  B₁C₁ || AD.

   Решение

---

Два равносторонних треугольника ABC и CDE имеют общую вершину (см. рис). Найдите угол между прямыми AD и BE.

   Решение

---

Дан квадратный лист бумаги со стороной 1. Отмерьте на этом листе расстояние ⅚ (лист можно сгибать, в том числе, по любому отрезку с концами на краях бумаги и разгибать обратно; после разгибания на бумаге остаётся след от линии сгиба).

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC  ∠ABC = 20°.  На равных сторонах CB и AB взяты соответственно точки P и Q так, что  ∠PAC = 50°  и  ∠QCA = 60°.
Докажите, что  ∠PQC = 30°.

   Решение

---

Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.

   Решение

---

Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой KO, где K — точка Лемуана, O — центр описанной окружности.

   Решение

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой KO, где K — точка Лемуана, O — центр описанной окружности.

Решение

Воспользуемся обозначениями из задачи 5.145B. Пусть O' -- центр описанной окружности треугольника A'B'C'. Ясно, что точка O' лежит на прямой KO. Рассмотрим точку O₁ — середину отрезка OO'. Докажем, что O₁ — центр окружности Тукера. Пусть O₁M — средняя линия трапеции AOO'A'. Тогда O₁M || AO. А так так AOB₁C₂ (задача 5.139B), то O₁M -- серединный перпендикуляр к отрезку B₁C₂. Таким образом, O₁ — точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам B₁C₂, C₁A₂ и A₁B₂.

Источники и прецеденты использования