Версия для печати
Убрать все задачи

---

На координатной плоскости xOy построена парабола  y = x².  Затем начало координат и оси стёрли.
Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?

   Решение

---

а) Торт имеет форму треугольника, в котором один угол в 3 раза больше другого. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку?

б) Та же задача для торта в форме тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в 2 раза больше одного из острых углов.
(Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)

   Решение

---

В магазине в ряд висят 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите такое минимальное k, что при любом изначальном порядке рубашек можно снять k белых и k фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся белые рубашки висели подряд и оставшиеся фиолетовые рубашки тоже висели подряд.

   Решение

---

За круглым столом сидят 40 человек. Может ли случиться, что у каждых двух из них, между которыми сидит чётное число человек, есть за столом общий знакомый, а у каждых двух, между которыми сидит нечётное число человек, общего знакомого нет?

   Решение

---

Трапеция ABCD с основаниями AB и CD вписана в окружность Ω. Окружность ω проходит через точки C, D и пересекает отрезки CA, CB в точках A₁, B₁ соответственно. Точки A₂ и B₂ симметричны точкам A₁ и B₁ относительно середин отрезков CA и CB соответственно. Докажите, что точки A, B, A₂ и B₂ лежат на одной окружности.

   Решение

---

а) Докажите, что для любого многочлена f(x) степени n существует единственное представление его в виде

Биномиальный коэффициент      интерпретируется как многочлен от переменной x. В частности, нижний индекс у биномиального коэффициента может быть любым действительным числом.

б) Докажите, что коэффициенты  d₀, d₁, ..., d_n  в этом представлении вычисляются по формуле  d_k = Δ^kf(0)  (0 ≤ k ≤ n).

   Решение

---

В таблице  n×n  разрешается добавить ко всем числам любого несамопересекающегося замкнутого маршрута ладьи по 1. В первоначальной таблице по диагонали стояли единицы, а остальные были нули. Можно ли с помощью нескольких разрешённых преобразований добиться того, что все числа в таблице станут равны? (Считается, что ладья побывала во всех клетках таблицы, через которые проходит её путь.)

   Решение

---

Кривая  4p³ + 27q² = 0  на фазовой плоскости Opq называется дискриминантной кривой уравнения  x³ + px + q = 0.  Прямые  ap + q + a³ = 0,  соответствующие трёхчленам, имеющим корень a, называются корневыми. Каково взаимное расположение на фазовой плоскости Opq дискриминантной кривой и корневых прямых? Имеют ли они общие точки, и, если имеют, то сколько?

   Решение

---

а) Пусть P — точка пересечения прямых AB и A₁B₁. Докажите, что если среди точек A, B, A₁, B₁ и P нет совпадающих, то общая точка описанных окружностей треугольников PAA₁ и PBB₁ является центром поворотной гомотетии, переводящей точку A в A₁, а точку B в B₁, причем такая поворотная гомотетия единственна.
б) Докажите, что центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок BC, является точка пересечения окружности, проходящей через точку A и касающейся прямой BC в точке B, и окружности, проходящей через точку C и касающейся прямой AB в точке B.

   Решение

---

Докажите, что  20Rr - 4r² ab + bc + ca 4(R + r)².

   Решение

Тема:    [ Длины сторон (неравенства) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что  20Rr - 4r² ab + bc + ca 4(R + r)².

Решение

Согласно задаче 12.30 ab + bc + ca = r² + p² + 4Rr. Кроме того, 16Rr - 5r² p² 4R² + 4Rr + 3r² (задача 10.34).

Источники и прецеденты использования