В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AH_c, CH_a пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠MBK = 90°.

   Решение

Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

   Решение

С помощью циркуля и линейки на данной прямой MN постройте точку, из которой данный отрезок AB был бы виден под данным углом.

   Решение

На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)² попыток?

   Решение

На стороне треугольника взяты четыре точки K, P, H и M, являющиеся соответственно серединой этой стороны, основанием биссектрисы противоположного угла треугольника, точкой касания с этой стороной вписанной в треугольник окружности и основанием соответствующей высоты. Найдите KH, если KP = a, KM = b.

   Решение

В ромб вписана окружность. На какие четыре части она делится точками касания сторон, если острый угол ромба равен 37^o?

   Решение

Докажите, что  a² + b² + c² - (a - b)² - (b - c)² - (c - a)² 4S.

   Решение

Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

   Решение

Какие-то две команды набрали в круговом волейбольном турнире одинаковое число очков.
Докажите, что найдутся такие команды А, В и С, что А выиграла у В, В выиграла у С, а С выиграла у А.

   Решение

Даны m = 2n + 1 точек — середины сторон m-угольника. Постройте его вершины.

   Решение

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Композиция центральных симметрий ] [ Построения (прочее) ] [ Произвольные многоугольники ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны m = 2n + 1 точек — середины сторон m-угольника. Постройте его вершины.

Решение

Пусть B₁, B₂,..., B_m — середины сторон A₁A₂, A₂A₃,..., A_mA₁ многоугольника A₁A₂...A_m. Тогда S_B1(A₁) = A₂, S_B2(A₂) = A₃,..., S_Bm(A_m) = A₁. Поэтому S_Bmo...oS_B1(A₁) = A₁, т. е. A₁ — неподвижная точка композиции симметрий S_BmoS_{Bm - 1}o...oS_B1. Согласно задаче 16.9 композиция нечетного числа центральных симметрий является центральной симметрией, т. е. имеет единственную неподвижную точку. Эту точку можно построить как середину отрезка, соединяющего точки X и  S_BmoS_{Bm - 1}o...oS_B1(X), где X — произвольная точка.

Источники и прецеденты использования