а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол  = ABP = BCP = CAP называется углом Брокара этого треугольника. Докажите, что  ctg = ctg + ctg + ctg.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A₁. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A₁AC.

   Решение

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)

   Решение

Докажите, что вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла (или дуги) окружности.

   Решение

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

   Решение

Площадь данного выпуклого четырёхугольника равна S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

   Решение

Служить на подводной лодке может матрос, рост которого не превышает 168 см. Есть четыре команды А, Б, В и Г. Все матросы в этих командах хотят служить на подводной лодке и прошли строгий отбор. Остался последний отбор – по росту.
  В команде А средний рост матросов равен 166 см.
  В команде Б медиана роста матросов равна 167 см.
  В команде В самый высокий матрос имеет рост 169 см.
  В команде Г мода роста матросов равна 167 см.
В какой команде по крайней мере половина матросов точно может служить на подводной лодке?

   Решение

Докажите, что если никакие стороны четырехугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей (прямая Гаусса).

   Решение

Пусть L — взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, что L — аффинное преобразование.

   Решение

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции двух растяжений и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

   Решение

Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции двух растяжений и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

Решение

Поскольку аффинное отображение однозначно определяется образами вершин любого фиксированного треугольника (см. задачу 29.6, б)), достаточно доказать, что из любого треугольника можно при помощи двух растяжений получить треугольник, подобный некоторому наперед заданному, например, равнобедренный прямоугольный. Докажем это. Пусть ABC — произвольный треугольник, BN — биссектриса внешнего угла B, прилежащего к стороне BC. Тогда при растяжении относительно BN с коэффициентом tg45^o/tgCBN из треугольника ABC получается треугольник A'B'C' с прямым углом B'. Из прямоугольного треугольника при помощи растяжения относительно одного из его катетов всегда можно получить равнобедренный прямоугольный треугольник.

Источники и прецеденты использования