Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Окружность с центром в точке $E$ лежит внутри прямоугольника. Из вершин $C$, $D$, $A$ проведены касательные к окружности $CF$, $DG$, $AH$, причем $CF$ пересекает $DG$ в точке $I$, $EI$ пересекает $AD$ в точке $J$, а прямые $AH$ и $CF$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что отрезок $LJ$ перпендикулярен $AD$.

   Решение

Решите систему

   Решение

Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде  P(x)U(x) + Q(x)V(x):
  а)  P(x) = x⁴ + x³ – 3x² – 4x – 1,  Q(x) = x³ + x² – x – 1;
  б)  P(x) = 3x⁴ – 5x³ + 4x² – 2x + 1,  Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.

   Решение

Пусть точки A^*, B^*, C^*, D^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) : = : ;
б) (DA, AC) - (DB, BC) = (D^*B^*, B^*C^*) - (D^*A^*, A^*C^*).

   Решение

Докажите, что многочлен  P(x) = (xⁿ⁺¹ – 1)(xⁿ⁺² – 1)...(x^n+m – 1)  делится на  Q(x) = (x – 1)(x² – 1)...(x^m – 1).

   Решение

В турнире участвуют 2m команд. В первом туре встретились некоторые m пар команд, во втором – другие m пар.
Докажите, что после этого можно выбрать m команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.

   Решение

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число , называемое простым отношением трех комплексных чисел, вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число : , называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, вещественно.

   Решение

Темы:    [ Комплексные числа в геометрии ] [ Свойства инверсии ] [ Проективные преобразования плоскости ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число , называемое простым отношением трех комплексных чисел, вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число : , называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, вещественно.

Решение

а) Пусть A, B, C — точки, соответствующие числам a, b, c. Комплексное число (a - b) : (a - c) вещественно тогда и только тогда, когда векторы и пропорциональны.
б) Пусть S — окружность (или прямая), на которой лежат точки b, c, d. Прибавив, если нужно, ко всем четырем числам одно и то же комплексное число (это не изменяет двойное отношение), можно считать, что окружность S проходит через 0. Значит, ее образ при инверсии — прямая. В решении задачи 29.26 показано, что двойное отношение сохраняется при инверсии. Поэтому остается решить такую задачу. Точки (т. е. комплексные числа) b, c, d лежат на одной прямой; нужно доказать, что число a лежит на той же прямой тогда и только тогда, когда число : вещественно. Это следует из задачи а).

Источники и прецеденты использования