В треугольнике ABC высота AH равна медиане BM. Найдите угол MBC.

   Решение

На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке K . Найдите площадь треугольника CKB , если катет BC равен a и катета AC равен b .

   Решение

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что  BK : CK = FS : ES.

   Решение

Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?

   Решение

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите расстояние от центра вписанной окружности до высоты, опущенной на гипотенузу.

   Решение

С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p – простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение  a^p ≡ a (mod p).

   Решение

Дана прямоугольная трапеция. Окружность, построенная на меньшей боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны и делит её на отрезки, равные a и b. Найдите радиус окружности.

   Решение

В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Известно, что эта окружность высекает на катетах отрезки, равные 12 и 18. Найдите катеты.

   Решение

На высоте CD, опущенной из вершины C прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB, как на диаметре построена окружность, которая пересекает катет AC в точке E, а катет BC в точке F. Найдите площадь четырёхугольника CFDE, если катет AC равен b, а катет BC равен a.

   Решение

Докажите, что число    (m, n ≥ 0)  целое.

   Решение

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что число    (m, n ≥ 0)  целое.

Решение

  Лемма.  [a] + [b] + [a + b] ≤ [2a] + [2b].
  Доказательство. Рассмотрим два случая.
  1)  {a} + {b} < 1.  Тогда  [a + b] = [a] + [b]  и  [a] + [b] + [a + b] = 2[a] + 2[b] ≤ [2a] + [2b].
  2)  {a} + {b} ≥ 1.  Тогда хотя бы одно из чисел {a}, {b} (например, {b}) не меньше ½. Поэтому  [2b] = 2[b] + 1  и
[a] + [b] + [a + b] = [a] + [b] + [a] + [b] + 1 = 2[a] + 2[b] + 1 = [2a] + [2b].