Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Окружность с центром в точке $E$ лежит внутри прямоугольника. Из вершин $C$, $D$, $A$ проведены касательные к окружности $CF$, $DG$, $AH$, причем $CF$ пересекает $DG$ в точке $I$, $EI$ пересекает $AD$ в точке $J$, а прямые $AH$ и $CF$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что отрезок $LJ$ перпендикулярен $AD$.

   Решение

Решите систему

   Решение

Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде  P(x)U(x) + Q(x)V(x):
  а)  P(x) = x⁴ + x³ – 3x² – 4x – 1,  Q(x) = x³ + x² – x – 1;
  б)  P(x) = 3x⁴ – 5x³ + 4x² – 2x + 1,  Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.

   Решение

Пусть точки A^*, B^*, C^*, D^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) : = : ;
б) (DA, AC) - (DB, BC) = (D^*B^*, B^*C^*) - (D^*A^*, A^*C^*).

   Решение

Докажите, что многочлен  P(x) = (xⁿ⁺¹ – 1)(xⁿ⁺² – 1)...(x^n+m – 1)  делится на  Q(x) = (x – 1)(x² – 1)...(x^m – 1).

   Решение

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что многочлен  P(x) = (xⁿ⁺¹ – 1)(xⁿ⁺² – 1)...(x^n+m – 1)  делится на  Q(x) = (x – 1)(x² – 1)...(x^m – 1).

Решение

  Обозначим многочлен  (xⁿ⁺¹ – 1)(xⁿ⁺² – 1)...(x^n+m – 1)  через P_n,m(x)  (n ≥ 1,  m ≥ 0),  а  P_0,m(x) = (x – 1)(x² – 1)...(x^m – 1)  – через Q_m(x).
  Докажем индукцией по  n + m,  что P_n,m делится на Q_m, причём частное – многочлен с целыми коэффициентами.
  База. Для многочленов P_0,m и P_n,1 утверждение очевидно.
  Шаг индукции. Пусть  n > 1,  а  m > 0.  Тогда
P_n,m(x) = P_n,m–1(x)(x^n+m – 1) = xⁿ(x^m – 1)P_n,m–1(x) + (xⁿ – 1)P_n,m–1(x) = xⁿ(x^m – 1)P_n,m–1(x) + P_n–1,m(x).
  По предположению индукции P_n,m–1 делится на Q_m–1, а P_n–1,m – на Q_m. Поэтому P_n,m делится на  Q_m = (x^m – 1)Q_m–1.

Замечания

Ср. с задачей 61522 д.

Источники и прецеденты использования