Версия для печати
Убрать все задачи

---

Последовательность чисел {x_n} задана условиями:

Докажите, что последовательность {x_n} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

   Решение

---

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD взяты соответственно точки P, Q, R и Sб  O – точка пересечения отрезков PR и QS.
Докажите,что если  AP : AB = DR : DC  и  AS : AD = BQ : BC,  то и  SO : SQ = AP : AB,  PQ : PR = AS : ;AD.

   Решение

---

Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение  (a + 1)²ⁿ⁺¹ + aⁿ⁺²  делится на  a² + a + 1.

   Решение

---

Игра ``Шоколадка''. Имеется шоколадка, состоящая из 6×8 = 48 долек. Одна из долек отмечена:

Двое игроков по очереди разламывают ее по какой-нибудь прямой, делящей шоколадку на дольки, и съедают ту половину, которая не содержит отмеченной дольки. Проигрывает тот, кто не может сделать хода, то есть ему остается лишь одна отмеченная долька.
а) Опишите выигрышную стратегию в этой игре. Кто из игроков выиграет при данных начальных условиях?
б) При каких размерах шоколадки начинающий игрок выигрывает при любом расположении отмеченной дольки?
в) При каких размерах шоколадки начинающий игрок проигрывает при любом расположении отмеченной дольки?

   Решение

---

В связном графе степени всех вершин чётны. Докажите, что на рёбрах этого графа можно расставить стрелки так, чтобы выполнялись следующие условия:
  а) двигаясь по стрелкам, можно добраться от каждой вершины до любой другой;
  б) для каждой вершины числа входящих и выходящих рёбер равны.

   Решение

---

Можно ли составить решётку, изображённую на рисунке
  а) из пяти ломаных длины 8?
  б) из восьми ломаных длины 5?
(Длина стороны клетки равна 1.)

   Решение

---

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?

   Решение

---

Доказать, что из сторон произвольного четырёхугольника можно сложить трапецию.

   Решение

---

Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите, что  NO 2MO.

   Решение

---

Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {a_n} и {b_n}, построенных по правилу

Обозначим его через  ν(a, b).  Докажите, что величина  ν(a, b)  связана с  μ(a, b)  (см. задачу 61322) равенством  ν(a, b)·μ(¹/_a, ¹/_b) = 1.

   Решение

Темы:    [ Средние величины ] [ Предел последовательности, сходимость ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11 Название задачи: Геометрико-гармоническое среднее.

Прислать комментарий

Условие

Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {a_n} и {b_n}, построенных по правилу

Обозначим его через  ν(a, b).  Докажите, что величина  ν(a, b)  связана с  μ(a, b)  (см. задачу 61322) равенством  ν(a, b)·μ(¹/_a, ¹/_b) = 1.

Решение

Можно считать, что  a < b.  Рассмотрим последовательности  {c_n} = {1/_bn},  {d_n} = {1/_an}.  Тогда     Согласно задаче 61322 последовательности {c_n} и {d_n} имеют общий предел  μ(1/_a, 1/_b). Следовательно, последовательности {a_n} и {b_n} имеют общий предел, равный  

Источники и прецеденты использования