Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Решите в натуральных числах уравнение (1 + nk)l = 1 + nm, где l > 1.
На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, кратное 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.
Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.
Касательная в точке B к описанной окружности S
треугольника ABC пересекает прямую AC в точке K. Из точки K
проведена вторая касательная KD к окружности S. Докажите,
что BD — симедиана треугольника ABC.
Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n1/2] + [n1/3] + ... + [n1/n] = [log2n] + [log3n] + ... + [lognn].
Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.
К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.
Дана клетчатая полоса 1×N. Двое играют в следующую игру. На очередном ходу первый игрок ставит в одну из свободных клеток крестик, а второй – нолик. Не разрешается ставить в соседние клетки два крестика или два нолика. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Кто из игроков может всегда выиграть (как бы ни играл его соперник)?
У математика есть набор из 16 гирь: 1/3 кг, 1/4 кг, 1/5 кг, ..., 1/18 кг. На левой чаше весов лежит груз 1 кг. Какие гири положить на правую чашу весов, чтобы уравновесить груз? (Достаточно привести один пример.)
Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?
По кругу стоят 99 детей, изначально у каждого есть мячик. Ежеминутно каждый ребёнок с мячиком кидает свой мячик одному из двух соседей; при этом, если два мячика попадают к одному ребёнку, то один из этих мячиков теряется безвозвратно. Через какое наименьшее время у детей может остаться только один мячик?
а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры MK1, MK2, ..., MKn к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что (O – центр n-угольника).
б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M
внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна где O – центр тетраэдра.
Есть тридцать карточек, на каждой написано по числу: на десяти карточках – a, на десяти других – b, и на десяти оставшихся – c (числа a, b, c все разные). Известно, что к любым пяти карточкам можно подобрать еще пять так, что сумма чисел на этих десяти карточках будет равна нулю. Докажите, что одно из чисел a, b, c равно нулю.
|
|
 |
Условие
Есть тридцать карточек, на каждой написано по числу: на десяти карточках – a, на десяти других – b, и на десяти оставшихся – c (числа a, b, c все разные). Известно, что к любым пяти карточкам можно подобрать еще пять так, что сумма чисел на этих десяти карточках будет равна нулю. Докажите, что одно из чисел a, b, c равно нулю.
Решение
Пусть a < b < c. Отметим на числовой оси всевозможные суммы чисел на пяти карточках. Для каждой из них отмечена и противоположная, поэтому отмеченные точки расположены симметрично относительно нуля. В частности, противоположны наибольшая (5с) и наименьшая (5а) суммы, значит,
5a + 5c = 0, то есть c = – a. Противоположны и суммы, ближайшие к “крайним”: (4a + b) + (4c + b) = 0. Отсюда следует, что b = 0.
Замечания
баллы: 8-9 кл. – 5, 10-11 кл. – 4
