Версия для печати
Убрать все задачи

---

Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?

   Решение

---

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, H — точка пересечения высот. Докажите, что a² + b² + c² = 9R² - OH².

   Решение

---

Даны два многочлена P(x) и Q(x) положительной степени, причём  P(P(x)) ≡ Q(Q(x))  и  P(P(P(x))) ≡ Q(Q(Q(x))).
Обязательно ли тогда  P(x) ≡ Q(x)?

   Решение

---

На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?

   Решение

---

Докажите, что количество частей, на которые данные прямые разбивают плоскость, равно 1 + n + ((P) - 1), причем среди этих частей 2n неограниченных.

   Решение

---

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a -- количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.

   Решение

---

На плоскости даны 9 точек (см. рисунок). Перечеркните их все четырьмя прямыми отрезками, не отрывая карандаша от бумаги.

   Решение

---

Докажите, что  S = r_c²tg(/2)tg(/2)ctg(/2).

   Решение

---

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа , , ..., тоже различны между собой. Найти все такие a.

   Решение

---

Решите систему уравнений:
   (x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁,
   (x₄ + x₅ + x₁)⁵ = 3x₂,
   (x₅ + x₁ + x₂)⁵ = 3x₃,
   (x₁ + x₂ + x₃)⁵ = 3x₄,
   (x₂ + x₃ + x₄)⁵ = 3x₅.

   Решение

---

Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы  $a(x) + b(x)$,  где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
  а) ровно одним способом?
  б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

   Решение

---

Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 100 прямоугольников, которые все ему подобны, но среди которых нет двух одинаковых?

   Решение

---

Решить в натуральных числах уравнение:  

   Решение

---

Разделить  a¹²⁸ – b¹²⁸  на  (a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶)(a³² + b³²)(a⁶⁴ + b⁶⁴).

   Решение

---

Клетки доски 10·10 раскрашены в красный, синий и белый цвета. Каждые две клетки с общей стороной раскрашены в разные цвета. Известно, что красных клеток 20.
  а) Докажите, что всегда можно вырезать 30 прямоугольников, каждый из которых состоит из двух клеток – белой и синей.
  б) Приведите пример раскраски, когда можно вырезать 40 таких прямоугольников.
  в) Приведите пример раскраски, когда нельзя вырезать больше 30 таких прямоугольников.

   Решение

Темы:    [ Раскраски ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Клетки доски 10·10 раскрашены в красный, синий и белый цвета. Каждые две клетки с общей стороной раскрашены в разные цвета. Известно, что красных клеток 20.
  а) Докажите, что всегда можно вырезать 30 прямоугольников, каждый из которых состоит из двух клеток – белой и синей.
  б) Приведите пример раскраски, когда можно вырезать 40 таких прямоугольников.
  в) Приведите пример раскраски, когда нельзя вырезать больше 30 таких прямоугольников.

Решение

а) Разрежем доску на 50 прямоугольников  1×2.  Ровно 20 из них содержат красные клетки, а остальные 30 – бело-синие.

б) См. рис. слева.

в) Окрасим 20 клеток в красный цвет, а также отметим 30 клеток, как на рисунке справа. Каждый сине-белый прямоугольник, очевидно, должен содержать отмеченную клетку, следовательно, их не больше 30.

Замечания

баллы: 2 + 2 + 2

Источники и прецеденты использования