Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Числа a, b и c таковы, что (a + b)(b + c)(c + a) = abc, (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a3) = a³b³c³. Докажите, что abc = 0.
Петя отметил на плоскости несколько (больше двух) точек, все расстояния между которыми различны. Пару отмеченных точек (A, B) назовём необычной, если A – самая дальняя от B отмеченная точка, а B – ближайшая к A отмеченная точка (не считая самой точки A). Какое наибольшее возможное количество необычных пар могло получиться у Пети?
Доска 2010×2011 покрыта доминошками 2×1; некоторые из них лежат горизонтально, некоторые – вертикально.
Докажите, что граница горизонтальных доминошек с вертикальными имеет чётную длину.
В турнире каждый участник встретился с каждым из остальных один раз. Каждую встречу судил один арбитр, и все арбитры судили разное количество встреч. Игрок Иванов утверждает, что все его встречи судили разные арбитры. То же самое утверждают о себе игроки Петров и Сидоров. Может ли быть, что никто из них не ошибается?
Натуральные числа a < b < c таковы, что b + a делится на b – a, а c + b делится на c – b. Число a записывается 2011, а число b – 2012 цифрами. Сколько цифр в числе c?
Две окружности w1 и w2 пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l1 и l2 (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l2 и l1, вторично пересекают окружности w1 и w2 соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C1; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B1. Докажите, что B1C1 || AD.
Дана бесконечная последовательность чисел a1, a2, a3, ... Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что
ak = ak+t = ak+2t = ... Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что ak = ak+T при любом натуральном k?
Высоты $AA_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$; $B_0$ – середина стороны $AC$. Прямая, проходящая через вершину $B$ параллельно $AC$, пересекает прямые $B_0A_1$, $B_0C_1$ в точках $A'$, $C'$ соответственно. Докажите, что прямые $AA'$, $CC'$, $BH$ пересекаются в одной точке.
Высоты $AH$, $CH$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекают внутреннюю биссектрису угла $B$ в точках $L_1$, $P_1$, а внешнюю в точках $L_2$, $P_2$. Докажите, что ортоцентры треугольников $HL_1P_1$, $HL_2P_2$ и вершина $B$ лежат на одной прямой.
Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты треугольника $ABC$; $A_0$, $C_0$ – точки пересечения описанной окружности треугольника $A_1BC_1$ с прямыми $A_1B_1$ и $C_1B_1$ соответственно. Докажите, что прямые $AA_0$ и $CC_0$ пересекаются на медиане треугольника $ABC$ или параллельны ей.
Треугольник ABC вписан в окружность Ω с центром O. Окружность Ω1, построенная на AO как на диаметре, пересекает описанную окружность Ω2 треугольника OBC в точке S, отличной от O. Касательные к Ω в точках B и C пересекаются в точке P. Докажите, что точки A, S и P лежат на одной прямой.
|
|
 |
Условие
Треугольник ABC вписан в окружность Ω с центром O. Окружность Ω1, построенная на AO как на диаметре, пересекает описанную окружность Ω2 треугольника OBC в точке S, отличной от O. Касательные к Ω в точках B и C пересекаются в точке P. Докажите, что точки A, S и P лежат на одной прямой.
Решение
Поскольку CP и BP – касательные к Ω, ∠OBP = ∠OCP = 90°; значит, точка P лежит на Ω2 и PO – диаметр этой окружности (см. рис.). Поэтому
∠OSP = 90°. Поскольку AO – диаметр окружности Ω1, ∠ASO = 90°. Таким образом, точки A и P лежат на перпендикуляре к OS, проходящем через точку S.
Замечания
В задаче предложено новое описание симедианы треугольника ABC. То, что прямая AS в нашей задаче – симедиана, следует из того известного факта, что симедиана из вершины A проходит через точку P пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из остальных вершин треугольника (см. задачу 56982). Об этом и других свойствах симедианы можно прочитать, например, в главе VI книги Д. Ефремова "Новая геометрия треугольника".
