Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Даны вершины A и C равнобедренной описанной трапеции ABCD (AD| BC); известны также направления ее оснований. Постройте вершины B и D.

Вниз   Решение


Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что  $ \angle$PAK = $ \angle$MAQ.

ВверхВниз   Решение


Косинус угла между скрещивающимися прямыми AB и CD равен . Точки E и F являются серединами отрезков AB и CD соответственно, а прямая EF перпендикулярна прямым AB и CD . Найдите угол ACB , если известно, что AB = 2 , CD = 2 , EF = .

ВверхВниз   Решение


Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что  $ \angle$BAH = $ \angle$OAC.

ВверхВниз   Решение


На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Докажите, что  AC . AD/AM = BC . BD/BM.

ВверхВниз   Решение


Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 2 и является хордой некоторой окружности. Катет AC равен 1 и лежит внутри окружности, а его продолжение пересекает окружность в точке D, причём  CD = 3.  Найдите радиус окружности.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AD взяты соответственно точки K, L и M. Известно, что AK = 5, KB = 3, BL = 2, LC = 7, CM = 1, MA = 6, Найдите расстояние от точки M до середины KL.

ВверхВниз   Решение


За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).

ВверхВниз   Решение


Автор: Эвнин А.Ю.

Дан равносторонний треугольник со стороной d и точка P, расстояния от которой до вершин треугольника равны положительным числам a, b и с. Докажите, что найдётся равносторонний треугольник со стороной a и точка Q, расстояния от которой до вершин этого треугольника равны b, с и d.

ВверхВниз   Решение


Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные $ {\frac{1}{1965}}$ части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.

ВверхВниз   Решение


Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника ABCDE.

ВверхВниз   Решение


Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

ВверхВниз   Решение


Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых  a + b  лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.

Вверх   Решение

Задача 65698
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых  a + b  лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.


Решение

  Проверим, что множества {1},  {1, 2},  {1, 2, 3},  {1, 2, 3, 4},  а также множество всех натуральных чисел – полные. Для последнего множества это очевидно; для остальных заметим, что если натуральные числа a и b таковы, что  a + b ≤ 4,  то либо они оба равны 2, либо одно из них равно 1; в любом из этих случаев  ab ≤ a + b.  Значит. если  a + bA,  то и  abA.
  Пусть теперь A – произвольное полное множество. Если A содержит некоторое число  k ≥ 2,  то по условию оно также содержит число
1·(k – 1) = k – 1.  Продолжая этот процесс, получаем, что все натуральные числа, не превосходящие k, лежат в A. В частности, если A не содержит чисел, больших 4, то множество A уже перечислено в ответе.
  Пусть в A есть число  l ≥ 5.  Зададим последовательность l1, l2, ... соотношениями  l1 = l,  ln+1 = 2(ln – 2).  Все эти числа лежат в A. Кроме того,
ln+1 = ln + (ln – 4);  по индукции теперь получаем, что  ln+1 > ln ≥ 5.  Значит,  ln > n;  для любого натурального n; из доказанного выше отсющда следует, что и  nA.  Итак, A содержит все натуральные числа.


Ответ

Множество всех натуральных чисел, а также множества {1},  {1, 2},   {1, 2, 3}  и  {1, 2, 3, 4}.

Замечания

Ср. с задачей 65702.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .