Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, даёт полный квадрат. Найти все такие числа.

Вниз   Решение


При дворе короля Артура собрались 2n рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более  n – 1  врага.
Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

ВверхВниз   Решение


Можно ли записать в строку 20 чисел так, чтобы сумма любых трёх последовательных чисел была положительна, а сумма всех 20 чисел была отрицательна?

ВверхВниз   Решение


На кафтане площадью 1 размещены 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше 1/2. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше 1/5.

ВверхВниз   Решение


Дана система из n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Точки $O_1$ и $O_2$ – центры описанных окружностей треугольников $AID$ и $CID$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $O_1IO_2$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырехугольника.

ВверхВниз   Решение


Мальвина всю неделю учила Буратино писать. Она изобразила на диаграмме, сколько букв написал Буратино за каждый из семи дней. Черта на диаграмме показывает среднее число букв (оно равно 9). Буратино оторвал кусок диаграммы, как показано на рисунке. Сколько букв он написал в воскресенье?

ВверхВниз   Решение


Масса каждой из 19 гирь не больше 70 г и равна целому числу граммов. Доказать, что из этих гирь нельзя составить более 1230 различных по массе наборов.

ВверхВниз   Решение


Провести данным радиусом окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности. Сколько решений имеет эта задача?

ВверхВниз   Решение


При каких n гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., n г можно разложить на три равные по массе кучки?

ВверхВниз   Решение


Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, записываемые при помощи двоек и единиц. Разбить их на два класса так, чтобы при сложении любых двух чисел каждого класса получалось число, в написании которого содержится не менее двух троек.

ВверхВниз   Решение


Автор: Креков Д.

Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2.

Вверх   Решение

Задача 66595
Темы:    [ Индукция ]
[ Многочлены ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Автор: Креков Д.

Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2.

Решение

Пусть $t$ – больший корень многочлена $x^2-10x+1$, тогда $t+\frac{1}{t}=10.$ Докажем по индукции, что число $t^n+\frac{1}{t^n}$ целое при любом целом неотрицательном $n$.

Действительно, это верно при $n=0$, 1. Кроме того, $$ t^{n+1}+\frac{1}{t^{n+1}}=\Biggl(t^n+\frac{1}{t^n}\Biggr)\Biggl(t+\frac{1}{t}\Biggr)-\Biggl(t^{n-1}+\frac{1}{t^{n-1}}\Biggr), $$ что позволяет проделать шаг индукции.

Положим $A=t^2$, тогда $A^n+\frac{1}{A^n}=\Biggl(t^n+\frac{1}{t^n}\Biggr)^2-2$ и $\frac{1}{A^n}<1$, значит, $A^n+\frac{1}{A^n}$ и есть верхняя целая часть $A^n,$ а ближайший к ней квадрат целого числа равен $\Biggl(t^n+\frac{1}{t^n}\Biggr)^2$.

Замечания

Несложно видеть, что можно взять в качестве $t$ любое число, являющееся наибольшим корнем многочлена вида $x^2 - nx + 1 = 0$, где $n$ – натуральное число, не меньшее 3. Действительно, как и в решении выше, сумма $t^n+\frac{1}{t^n}$ оказывается целой, откуда для $A=t^2$ следует утверждение задачи.

В этом решении мы увидели, что для взятых нами чисел $t$ расстояние от степени $t^n$ до ближайшего целого стремится к нулю с ростом $n$. На самом деле чисел, степени которых становятся все ближе и ближе к целым числам, больше (но про остальные нельзя сказать, что они подходят для решения данной задачи!).

А именно, пусть $P(x)$ – приведенный многочлен с целыми коэффициентами, у которого все корни (в том числе комплексные), кроме одного, по модулю меньше 1. Тогда этот корень $x_1$ вещественный, и расстояние от $x_1^n$ до ближайшего целого числа стремится к 0 с ростом $n$. Это следует из того, что сумма $n$-х степеней всех корней многочлена $P$ целочисленно выражается через его коэффициенты и потому является целой. А степени всех остальных корней стремятся к 0 – как раз потому, что они по модулю меньше 1. Это рассуждение можно прочитать в статье А. Егорова «Числа Пизо» (часть 1, часть 2); см. также проект Дробные части степеней на Летней конференции Турнира городов-2000.

Такие числа – корни приведенного многочлена с целыми коэффициентами, у которого все остальные корни по модулю меньше $1$, – называются числами Пизо или числами Пизо-Виджаярагхавана. Они представляют интерес в связи с задачами диофантовой аппроксимации и изучались в работах Туэ, Харди, Пизо (см., например, Дж. В. С. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: ИЛ, 1961, глава VIII).

Фрактал Рози связан с числом Пизо – корнем кубического уравнения $x^3-x^2-x-1=0$ (и с соответствующими подстановочными последовательностями); Об этом можно прочитать в статьях G. Rauzy Nombres algèbriques et substitutions и В. Клепцына Слова на ленте.

Свое название эти числа получили после публикации Шарля Пизо La rèpartition modulo un et les nombres algèebriques, который в своей диссертации открыл много замечательных свойств этих чисел.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 84
Год 2021
класс
Класс 10
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .