Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Даны окружность, прямая и точки A, A', B, B', C, C', M,
лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1
и 30.3 существует единственное проективное преобразование
данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно
в A', B', C'. Обозначим это преобразование через P.
Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M);
б) неподвижные точки отображения P (задача Штейнера).
На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD
взяты точки E и F. Пусть K, L, M и N — середины
отрезков DE, BF, CE и AF. Докажите, что четырехугольник KLMN
выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек E и F.
Детали полотна игрушечной железной дороги имеют
форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что
последовательно присоединяя их концами
так, чтобы они плавно переходили друг
в друга, нельзя составить путь, у которого
начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют
тупик, изображенный на рис.
а) Можно ли замостить костями домино размером 1×2
шахматную доску размером 8×8, из которой вырезаны
два противоположных угловых поля?
б) Докажите, что если из шахматной доски размером 8×8 вырезаны две
произвольные клетки разного цвета, то оставшуюся часть доски всегда можно
замостить костями домино размером 1×2.
Даны две окружности S1, S2 и прямая l. Проведите
прямую l1, параллельную прямой l, так, чтобы:
а) расстояние между точками пересечения l1 с окружностями S1
и S2 имело заданную величину a;
б) S1 и S2 высекали на l1 равные хорды;
в) S1 и S2 высекали на l1 хорды, сумма (или разность)
длин которых имела бы заданную величину a.
На стороне AB четырехугольника ABCD взяты точки A1
и B1, а на стороне CD — точки C1 и D1,
причем
AA1 = BB1 = pAB и
CC1 = DD1 = pCD, где p < 0, 5. Докажите,
что
SA1B1C1D1/SABCD = 1 - 2p.
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Существует ли такое число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2?
|
|
 |
Условие
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Существует ли такое число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2?
Решение
См. решение задачи 66595.
Ответ
Да, существует.
