Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
Концы отрезков AB и CD перемещаются по сторонам данного угла, причем прямые AB и CD перемещаются параллельно; M – точка пересечения отрезков AB и CD. Докажите, что величина
остается постоянной.
Известно, что число a положительно, а неравенство 10 < ax < 100 имеет ровно пять решений в натуральных числах.
Сколько таких решений может иметь неравенство 100 < ax < 1000?
Коля и Женя договорились встретиться в метро в первом часу дня. Коля приходит на место встречи между полуднем и часом дня, ждёт 10 минут и уходит. Женя поступает точно так же.
а) Какова вероятность того, что они встретятся?
б) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти раньше половины первого, а Коля по-прежнему – между полуднем и часом?
в) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти в произвольное время с 12.00 до 12.50, а Коля по-прежнему между 12.00 и 13.00?
В центре квадратного пирога находится изюминка. От пирога можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. Можно ли отрезать изюминку?
Напишите вместо пропуска число (буквами, а не цифрами!), чтобы получилось истинное предложение:
Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены
в два цвета. Докажите, что существуют две горизонтальные
и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат
точки одного цвета.
Докажите, что если x + y + z = 6, то x² + y² + z² ≥ 12.
В круге проведены два перпендикулярных диаметра,
т. е. четыре радиуса, а затем построены четыре круга, диаметрами которых
служат эти радиусы. Докажите, что суммарная площадь попарно общих
частей этих кругов равна площади
части исходного круга, лежащей вне рассматриваемых четырех
кругов (рис.).
Докажите, что если a ≡ b (mod m) и
c ≡ d (mod m), то
а) a + c ≡ b + d (mod m); б) ac ≡ bd (mod m).
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1
расположено пять точек. Докажите, что расстояние между
некоторыми двумя из них меньше 0, 5.
Внутри острого угла BAC дана точка M. Постройте на сторонах BA
и AC точки X и Y так, чтобы периметр треугольника XYM был
минимальным.
Даны уравнения ax² + bx + c = 0 (1) и – ax² + bx + c (2). Доказать, что если x1 и x2 – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень x3 уравнения ½ ax² + bx + c, что либо x1 ≤ x3 ≤ x2, либо x1 ≥ x3 ≥ x2.
Проведите через данную точку P, лежащую внутри угла AOB,
прямую MN так, чтобы величина OM + ON была минимальной (точки M
и N лежат на сторонах OA и OB).
У Ильи есть табличка $3\times 3$, заполненная числами от $1$ до $9$ так, как в таблице слева. За один ход Илья может поменять местами любые две строчки или любые два столбца. Может ли он за несколько ходов получить таблицу справа?
|
|
|
|
 |
Условие
У Ильи есть табличка $3\times 3$, заполненная числами от $1$ до $9$ так, как в таблице слева. За один ход Илья может поменять местами любые две строчки или любые два столбца. Может ли он за несколько ходов получить таблицу справа?
|
|
Решение
Заметим, что как при перемене двух строк местами, так и при перемене двух столбцов местами числа 1 и 2 остаются в одной строке. Во второй таблице это не так, поэтому получить её Илье не удастся.
Ответ
Нет, не может.
Замечания
Можно заметить, что при описанных действиях наборы чисел в строках и столбцах не меняются, т.е. в какой-то строке всегда в некотором порядке будут числа 1, 2, 3, в другой — 4, 5, 6, в третьей — 7, 8, 9. Величина (обычно, числовая, но бывает и иначе), которая не меняется в ходе некоторого процесса, называется инвариантом.
Про инварианты можно почитать, например, в статье Ю. Ионина, Л. Курляндчика “Поиск инварианта” (журнал Квант, 1976 г., № 2).
