Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
Пусть A1 и B1 — проекции точки P описанной
окружности треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите,
что длина отрезка A1B1 равна длине проекции отрезка AB на
прямую A1B1.
В каждом из $16$ отделений коробки $4\times 4$ лежит по золотой монете. Коллекционер помнит, что какие-то две лежащие рядом монеты (соседние по стороне) весят по $9$ грамм, а остальные по $10$ грамм. За какое наименьшее число взвешиваний на весах, показывающих общий вес в граммах, можно определить эти две монеты?
На плоскости синим и красным цветом окрашено несколько точек так, что никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой (точек каждого цвета не меньше трёх). Докажите, что какие-то три точки одного цвета образуют треугольник, на трёх сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета.
Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?
Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.
Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см и положили их в ряд (по прямой). Какой длины оказался ряд?
Докажите, что связный граф, имеющий не более двух нечётных вершин, можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз.
Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?
В треугольнике ABC из произвольной точки D на стороне AB проведены две прямые, параллельные сторонам AC и BC, пересекающие BC и AC соответственно в точках F и G. Доказать, что сумма длин описанных окружностей треугольников ADG и BDF равна длине описанной окружности треугольника ABC.
Барон Мюнхгаузен утверждает, что смог разрезать некоторый равнобедренный треугольник на три треугольника так, что из любых двух можно сложить равнобедренный треугольник. Не хвастает ли барон?
Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января?
На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причём среди этих 600 сапог 300 левых и 300 правых.
Докажите, что из них можно составить не менее 100 годных пар обуви.
В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.
Известно, что если у правильного $N$-угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то $2N$ добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин.
А верно ли аналогичное утверждение для находящегося внутри сферы
а) произвольного куба;
б) произвольного правильного тетраэдра?
(Каждое ребро продлевают в обе стороны до пересечения со сферой. В итоге к каждому ребру добавляется по отрезку с обеих сторон. Требуется покрасить каждый из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков была равна сумме длин синих.)
|
|
 |
Условие
Известно, что если у правильного $N$-угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то $2N$ добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин.
А верно ли аналогичное утверждение для находящегося внутри сферы
а) произвольного куба;
б) произвольного правильного тетраэдра?
(Каждое ребро продлевают в обе стороны до пересечения со сферой. В итоге к каждому ребру добавляется по отрезку с обеих сторон. Требуется покрасить каждый из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков была равна сумме длин синих.)
Решение
а) Посмотрим сначала на горизонтальные отрезки. Они получаются продолжением сторон квадратов (верхней и нижней грани куба) внутри кругов. Поэтому их можно разбить на две группы с одинаковой суммой.
Достаточно теперь разбить на две группы с одинаковой суммой 8 вертикальных отрезков. Посмотрим на 4 из них, лежащие в одной плоскости. Мы видим квадрат $ABCD$ внутри круга, стороны $AB$ и $CD$ которого продлили до пересечения с этим кругом (точки $A’$, $B’$, $C’$, $D’$).
Докажем, что $AA’+CC’=BB’+DD’$. Общий перпендикуляр $l$ к хордам $A’B’$ и $C’D’$ – ось симметрии окружности. Поэтому если $l$ является осью симметрии и квадрата, то утверждение очевидно. А иначе – сдвинем квадрат вдоль наших хорд так, чтобы $l$ стал его осью симметрии – если при этом $AA’$ и $DD’$ увеличиваются на $x$, то $BB’$ и $CC’$ на $x$ уменьшаются, поэтому на равенство такой сдвиг не влияет.
Итак, мы разделили наши отрезки на несколько групп (две группы горизонтальных отрезков и две группы вертикальных отрезков), каждую из которых разбили на две «половины» с одинаковыми суммами длин. Утверждение пункта а) доказано.
б) Если у тетраэдра одна вершина в центре сферы, а три другие лежат на её поверхности, отрезков фактически три и все равны радиусу сферы $r$. Три равных отрезка нельзя разбить на две группы с равными суммами длин: в одной из групп будет «перевес» хотя бы на целый радиус.
И даже если три другие вершины лежат не на самой сфере, но близко к ней, то длины всех девяти исходящих из них отрезков не смогут покрыть «перевес» в радиус между двумя группами. Проведем точную оценку: если ребро тетраэдра равно $a$, то три вершины лежат на сфере радиуса $a < r$. Тогда любой из девяти выходящих из них отрезков не превосходит $\sqrt{r^2-a^2}$ (например, это следует из теоремы о касательной и секущей). Осталось подобрать радиус $a$ так, что $9 \sqrt{r^2-a^2} < r$. Это выполняется при $ a > \sqrt \frac{80}{81} r$.
Ответ
Для куба утверждение верно, для правильного тетраэдра – не верно.
Замечания
В решении пункта а) можно было и не пользоваться в первом абзаце утверждением про квадрат в круге – в третьем абзаце мы его фактически доказали.
Утверждение про многугольник в круге (для равностороннего пятиугольника) предлагалось на Всероссийской математической олимпиаде 1989 года (задача 8 для 8 класса).
