Выбрано 17 задач 
Убрать все задачи
Положительные числа a, b, c, d таковы, что a ≤ b ≤ c ≤ d и a + b + c + d ≥ 1. Докажите, что a² + 3b² + 5c² + 7d² ≥ 1.
В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.
Таблица размером 2017×2017 заполнена ненулевыми цифрами. Среди 4034 чисел, десятичные записи которых совпадают со строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число p, а оставшееся число на p не делится. Найдите все возможные значения p.
Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?
Положительные числа a, b, c таковы, что a ≥ b ≥ c и a + b + c ≤ 1. Докажите, что a² + 3b² + 5c² ≤ 1.
Петя и Миша играют в такую игру. Петя берёт в каждую руку по монетке: в одну – 10 коп., а в другую – 15. После этого содержимое левой руки он умножает на 4, 10, 12 или 26, а содержимое правой руки – на 7, 13, 21 или 35. Затем Петя складывает два получившихся произведения и называет Мише результат. Может ли Миша, зная этот результат, определить, в какой руке у Пети – правой или левой – монета достоинством в 10 коп.?
Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет. На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник $M$, в котором больше одной клетки. Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, чтобы после сдвига он лежал "по клеткам". Если после очередного сдвига ровно одна клетка у $M$ лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в чёрный цвет и делают следующий сдвиг. Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в чёрный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали $M$ по описанным правилам.
Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании
двушки – пять гривенников.
Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить после нескольких опусканий одинаковое количество двушек и гривенников?
Дан треугольник $ABC$ и окружность $\gamma$ с центром в точке $A$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$. Пусть общая хорда описанной окружности треугольника и окружности $\gamma$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $BY$ пересекают $\gamma$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ACT$ и $BAS$ пересекаются в точках $A$ и $P$. Докажите, что прямые $CX$, $BY$, и $AP$ пересекаются в одной точке.
Дан центрально-симметричный октаэдр $ABCA'B'C'$ (пары $A$ и $A'$, $B$ и $B'$, $C$ и $C'$ противоположны), такой, что суммы плоских углов при каждой из вершин октаэдра равны $240^{\circ}$. В треугольниках $ABC$ и $A'BC$ отмечены точки Торричелли $T_1$ и $T_2$. Докажите, что расстояния от $T_1$ и $T_2$ до $BC$ равны.
48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут?
В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.
На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?
Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.
К Ивану на день рождения пришли 2$N$ гостей. У Ивана есть $N$ чёрных и $N$ белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(2N)!$ различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.)
Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A1 на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.
Рокфеллер и Маркс играют в такую игру. Имеется $n > 1$ городов, во всех одно и то же число жителей. Сначала у каждого жителя есть ровно одна монета (монеты одинаковы). За ход Рокфеллер выбирает по одному жителю из каждого города, а Маркс перераспределяет между ними их деньги произвольным образом с единственным условием, чтобы распределение не осталось таким, каким только что было. Рокфеллер выиграет, если в какой-то момент в каждом городе будет хотя бы один человек без денег. Докажите, что Рокфеллер может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл Маркс, если в каждом городе
а) ровно $2n$ жителей;
б) ровно $2n - 1$ житель.
|
|
 |
Условие
Рокфеллер и Маркс играют в такую игру. Имеется $n > 1$ городов, во всех одно и то же число жителей. Сначала у каждого жителя есть ровно одна монета (монеты одинаковы). За ход Рокфеллер выбирает по одному жителю из каждого города, а Маркс перераспределяет между ними их деньги произвольным образом с единственным условием, чтобы распределение не осталось таким, каким только что было. Рокфеллер выиграет, если в какой-то момент в каждом городе будет хотя бы один человек без денег. Докажите, что Рокфеллер может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл Маркс, если в каждом городе
а) ровно $2n$ жителей;
б) ровно $2n - 1$ житель.
Решение
Пусть $k$ – количество жителей в городе. Будем изображать ситуацию в игре таблицей с $n$ строками и $k$ столбцами: в i-й строке будут перечислены благосостояния $a_{i1}, ..., a_{ik}$ всех жителей i-го города в порядке неубывания. Пусть $S_j$ – сумма чисел в j-м столбце.
а) Стратегия Рокфеллера. Если $S_j = S_{j+1}$, выбрать всех жителей из j-го столбца.
Предположим, что $S_j = S_{j+1}$; тогда $a_{ij} = a_{i,j+1}$ при всех $i$. После марксова перераспределения числа $S_{j+1}, ..., S_k$ не уменьшатся. С другой стороны, у одного из выбранных жителей (пусть он в i-м городе) благосостояние станет больше чем $a_{ij}$. Это значит, что одна из сумм $S_k$ при $k \geqslant j + 1$ увеличится (та, в которую попало новое число). Поэтому последовательность $S_k, S_{k-1}, ..., S_1$ лексикографически увеличится. Это не может продолжаться бесконечно долго
(наборов из $k$ чисел с фиксированной суммой конечное количество), так что в некоторый момент все числа $S_1, ..., S_k$ окажутся различными.
Пусть $S_1 \geqslant 1$. Тогда $S_i \geqslant i$ при всех $i$, откуда $nk = S_1 + ... + S_k \geqslant 1 + 2 + ... + k = \frac{1}{2} k(k + 1)$, то есть $k \leqslant 2n - 1$. Противоречие.
Значит, $S_1 = 0$, и Рокфеллер победил.
б) Пусть $k = 2n - 1$. Применяя стратегию из пункта а), Рокфеллер либо выиграет, либо добьётся состояния $S_i = i$ при всех $i = 1, ..., k$. Покажем, как ему выиграть, начиная с такой позиции.
Скажем, что игра находится в i-й ситуации ($1 \leqslant i \leqslant n + 1$), если (возможно, после перенумерации строк) выполнены следующие условия:
- при $j = 1, 2, ..., i - 1$ в j-м столбце стоят $j$ единиц в верхних клетках, а остальные числа – нули;
- в i-м столбце нижние $n + 1 - i$ элементов – нули.
Покажем, что в рассматриваемый момент игра находится в i-й ситуации при некотором $i$. Переставим строки так, чтобы количества нулей в них не убывали сверху вниз. Пусть при некотором $i \leqslant n$ в i-м столбце не стоит i единиц; выберем наименьшее такое $i$. Тогда (из условия на нули в строках) в предыдущих столбцах единицы стоят "треугольником",
а в i-м столбце есть $n + 1 - i$ нулей, то есть игра в i-й ситуации. Если же такого $i$ нет, то в первых n столбцах единицы стоят "треугольником", и игра в (n+1)-й ситуации.
Покажем, что при $i > 1$, если игра в i-й ситуации,
Рокфеллер может уменьшить номер ситуации одним ходом. Так он рано или поздно добьётся 1-й ситуации, то есть своего выигрыша.
Действительно, Рокфеллер выбирает (i–1)-й столбец.
Пусть $j$ – наименьший индекс, при котором число в j-й строке уменьшится (т.е. превратится в 0) в результате действия Маркса. Поскольку $j\leqslant i-1$, то после этого хода (и упорядочивания строк, при котором этот 0 переместится в начало строки) будет наблюдаться j-я ситуация (здесь мы уже не требуем равенств $S_k = k$), что и требовалось.
Замечания
баллы: 10 + 4
