Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Решите в натуральных числах уравнение (1 + nk)l = 1 + nm, где l > 1.
На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, кратное 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.
Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.
Касательная в точке B к описанной окружности S
треугольника ABC пересекает прямую AC в точке K. Из точки K
проведена вторая касательная KD к окружности S. Докажите,
что BD — симедиана треугольника ABC.
Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n1/2] + [n1/3] + ... + [n1/n] = [log2n] + [log3n] + ... + [lognn].
Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.
К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.
|
|
 |
Условие
К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.
Решение
Искомый луч – геометрическое место лежащих внутри угла точек, для которых отношение расстояний до серой и чёрной сторон равно отношению $\frac{r_1}{r_2}$ радиусов серой и чёрной окружностей.
Дальнейшие рассуждения практически повторяют решение задачи 66747. Ясно, что луч $A'A$ содержит указанный выше луч и обладает тем же свойством по отношению к прямым $A'O_{1}$ и $A'O_{2}$. Поэтому этот луч пересекает дугу $O_{1}O_{2}$ в такой точке $K$, что $O_{1}K : O_{2}K = 2R \sin\angle O_{1}A'K : 2R \sin\angle O_{2}A'K = \sin\angle O_{1}A'K:\sin\angle O_{2}A'K = A'A \sin\angle O_{1}A'K:A'A \sin\angle O_{2}A'K=r_{1} : r_{2}$.
Замечания
7 баллов
