Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Про трапецию ABCD с основаниями AD и BC известно, что AB = BD. Пусть точка M – середина боковой стороны CD, а O – точка пересечения отрезков AC и BM. Докажите, что треугольник BOC – равнобедренный.
Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника ABC и A'B'C' и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников.
Докажите, что середины отрезков AA', BB' и CC' лежат на одной прямой.
В прямоугольной трапеции PQRS (
QR || PS,
PQ PS) меньшее основание QR равно 2, а
боковая сторона RS равна 4. Точка T, середина стороны RS,
соединена отрезком прямой с точкой P. Известно, что
угол TPS равен
. Найдите площадь трапеции PQRS.
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки H и O – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны AB и BC в точках A1 и C1. Докажите, что OB – биссектриса угла A1OC1.
Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим yb как образ прямой y при симметрии относительно XB, а yc – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть yb и yс пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих yb и yс).
На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом 2000 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать не менее 500 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом (соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину).
Фигурки из четырёх клеток называются тет- рамино. Они бывают пяти видов (см. рис.). Существует ли такая фигура, что при любом выборе вида тетрамино эту фигуру можно составить, используя тетраминошки только выбранного вида? (Переворачивать тетраминошки можно.)
Через двор проходят четыре пересекающиеся тропинки (см. план).
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC,
пересекает сторону AB в точке D и сторону BC в точке E. Найдите
угол CDB, если AD = 5,
AC = 2, BE = 4,
BD : CE = 3 : 2.
Продолжите последовательность чисел: 1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223, 114213...
В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно, $AB < AC$. Прямая, проходящая через середину $K$ отрезка $AH$ и перпендикулярная $OK$, пересекает сторону $AB$ и касательную к описанной окружности в точке $A$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XOY=\angle AOB$.
|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно, $AB < AC$. Прямая, проходящая через середину $K$ отрезка $AH$ и перпендикулярная $OK$, пересекает сторону $AB$ и касательную к описанной окружности в точке $A$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XOY=\angle AOB$.
Решение
Так как $\angle OKY=\angle OAY=90^{\circ}$, точки $K$ и $A$ лежат на окружности с диаметром $OY$, т.е. $\angle OYX=\angle OAK=\angle B-\angle C$. Далее, пусть $M$ – середина $BC$. Тогда $KHMO$ – параллелограмм, т.е. у треугольников $AKX$ и $CMH$ соответствующие стороны перпендикулярны. Следовательно, эти треугольники подобны и $\frac{KX}{OK} = \frac{KX}{HM} = \frac{AK}{CM} = \frac{OM}{CM}$. Значит, прямоугольные треугольники $OKX$ и $CMO$ подобны, и $\angle OXK=\angle COM=\angle A$. Таким образом, $\angle XOY=2\angle C=\angle AOB$.
