Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что в любом треугольнике сумма длин высот
меньше периметра.
На сторонах угла AOB от вершины O отложены отрезки OA и OB, причем OA > OB. На отрезке OA взята точка M, на продолжении отрезка OB — точка N так, что AM = BN = x. Найти значение x, при котором отрезок MN имеет наименьшую длину.
Пусть даны последовательности чисел {an} и {bn},
связанные
соотношением
bn = an, (n = 1, 2,...). Как связаны частичные суммы Sn последовательности {an}
На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?
Можно ли поверхность единичного куба оклеить четырьмя треугольниками площади 1,5?
Медиана AD, высота BE и биссектриса CF треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что BO = CO.
Докажите, что треугольник ABC равносторонний.
Пусть f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.
Задан массив X [1:m]. Найти длину k самой длинной ''пилообразной (зубьями вверх)'' последовательности идущих подряд чисел:
X [p+1]< X [p+2]>X [p+3]<...> X[p+k].
Две окружности радиуса R касаются в точке K. На
одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем
AKB = 90o. Докажите, что AB = 2R.
Пусть a , b и c – стороны параллелепипеда, d –
одна из его диагоналей. Докажите, что
a2 + b2 + c2
d2 .
Найдите последовательность {an} такую, что
an = n2. Используя результат предыдущей задачи, получите
формулу для суммы
12 + 22 + 32 +...+ n2.
Как разделить блинчик тремя прямолинейными разрезами на 4, 5, 6, 7 частей?
Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. $$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.
|
|
 |
Условие
Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что
$$
a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1.
$$
Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.
Решение
Преобразуем уравнение к виду $$ a+b+c+d=(a+c)(b+d)+1. $$ После замены $x=a+c$ и $y=b+d$ получаем $$x+y=xy+1.$$ Перенесём все слагаемые в одну часть и разложим на множители: $$(x-1)(y-1) = 0.$$ Таким образом, $a+c= 1$ или $b+d = 1$. Пусть $a+c=1$. Сумма двух положительных целых чисел не меньше двух, следовательно, $a\leqslant0$ или $c\leqslant0$. Не умаляя общности, пусть $a\leqslant0$. Тогда $c>0$. Итого $|c|-|a| = c + a = 1$. Что и требовалось доказать.
