Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q (P – на прямой BM, Q – на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.

   Решение

Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.

   Решение

Найдите геометрическом место ортоцентров (точек пересечения высот) всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность.

   Решение

Вася называет прямоугольник, стороны которого отличаются на 1, почти-квадратом. (Например, прямоугольник со сторонами 5 и 6 – это почти-квадрат.) Существует ли почти-квадрат, который можно разрезать на 2010 почти-квадратов?

   Решение

При каком наибольшем n можно раскрасить числа 1, 2, ..., 14 в красный и синий цвета так, чтобы для каждого числа  k = 1, 2, ..., n  нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна k, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна k?

   Решение

Существует ли прямоугольный треугольник, у которого длины двух сторон – целые числа, а длина третьей стороны равна   ?

   Решение

В остроугольном треугольнике соединены основания высот. Оказалось, что в полученном треугольнике две стороны параллельны сторонам исходного треугольника. Докажите, что третья сторона также параллельна одной из сторон исходного треугольника.

   Решение

В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой стороны лежит наименьший угол треугольника.

   Решение

В выпуклом шестиугольнике AC₁BA₁CB₁   AB₁ = AC₁,  BC₁ = BA₁,  CA₁ = CB₁  и  ∠A + ∠B + ∠C = ∠A₁ + ∠B₁ + ∠C₁.
Докажите, что площадь треугольника ABC равна половине площади шестиугольника.

   Решение

а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

   Решение

Темы:    [ Неравенства с векторами ] [ Вспомогательные проекции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Скалярное произведение ] [ Условная сходимость ]

Сложность: 9 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

Решение

Рассмотрим вначале "одномерную" задачу.

Лемма1. Пусть дано n чисел, таких, что каждое по модулю не превосходит 1 , а сумма всех равна 0 . Тогда их можно занумеровать так, чтобы при любом i n сумма первых i из них была по модулю не больше 1 .

Укажем один из способов нумерации (проверьте, что он приводит к цели). Разобьем данные числа на положительные: a₁ , ... , a_k и неположительные: b₁ , ... , b_n-k . Положим c₁=a₁ , c₂=b₁ . Если c₁+c₂<0 , положим c₃=a₂ ; если c₁+c₂ 0 , положим c₃=b₂ . И вообще, если c₁ , ... , c_l уже выбраны, то при c₁+...+c_l<0 примем за c_l+1 очередное положительное число, а при c₁+...+c_l 0 – очередное неположительное число.

Опираясь на лемму1, решим задачу M275 б). Приложим все данные векторы к некоторой точке O и выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы сумма s всех векторов, смотрящих вверх (в полуплоскость y>0 ), была направлена в точности по оси y . (Вопрос, как построить такую систему координат, мы обсудим позже.) Остальные векторы (смотрящие вниз) дадут тогда в сумме -s .

Сначала займемся векторами, смотрящими вверх. Их составляющие по оси x обозначим через p₁ , ... , p_k . Так как составляющая s по оси x равна 0 , то p₁+...+p_k=0 . По модулю каждое из чисел p₁ , ... , p_k не превосходит 1 . По лемме1 занумеруем числа p₁ , ... , p_k так, чтобы при всяком i k сумма первых i из них была по модулю не больше 1 . Тем самым мы занумеруем векторы, смотрящие вверх, так, что при всяком i k сумма первых i из них будет лежать в полосе |x| 1 (рис.1). Составляющие этих векторов по оси y (в выбранном порядке) обозначим через a₁ , ... , a_k .

Так же занумеруем векторы, смотрящие вниз, и их составляющие по оси y назовем b₁ , ... , b_n-k .

Теперь перейдем к сквозной нумерации всех данных векторов. Каждое из чисел a₁ , ... , a_k заключено между 0 и 1 , каждое из чисел b₁ , ... , b_n-k – между 0 и -1 , а сумма всех их равна 0 . Не меняя относительного порядка чисел a₁ , ... , a_k и относительного порядка чисел b₁ , ... , b_n-k , выпишем их по лемме1 в виде набора c₁ , ... , c_n так, чтобы при любом i n выполнялось неравенство |c₁+...+c_i| 1 . Таким образом, мы занумеруем все данные векторы так, что при всяком i n сумма первых i из них будет расположена в полосе |y| 1 . При этом (благодаря предварительной нумерации чисел a₁ , ... , a_k и b₁ , ... , b_n-k всякая такая сумма лежит и в полосе |x| 2 .

Итак, мы доказали, что n данных векторов можно обозначить через v₁ , ... , v_n так, что при всяком i n сумма v₁+...+ v_i лежит в прямоугольнике |x| 2 , |y| 1 , и, значит, | v₁+...+ v_i| .

Замечание1. Остается обосновать построение системы Oxy .

Разобьем все данные векторы на два класса, сумму векторов первого класса обозначим через s (тогда сумма векторов второго класса будет -s ). Всевозможных разбиений на два класса всего 2ⁿ (важно, что их конечное число). Выберем из них такое, для которого |s| принимает наибольшее значение, и направление именно этого вектора s примем за направление оси y .

(Убедитесь, что построенная система Oxy обладает нужным нам свойством.)

Замечание2. Из приведенного построения оси y видно, что ни один из данных векторов не перпендикулярен ей, следовательно, мы верно говорили о векторах, "смотрящих вниз" (вместо более осторожного "не вверх").

Упражнение1. Пусть в пространстве дано n векторов, таких, что каждый по модулю не превосходит 1 , a сумма всех равна 0 . Докажите, что их можно занумеровав так, чтобы при любом i n сумма первых i из них имела длину меньше C , где: а) C= , б) ^* C= .

Перейдем к задаче M275 а).

Лемма2. Пусть каждый из векторов e₁ , ... , e_r имеет длину 1 , длина e₀ не больше 1 , и e₀+ e₁+...+ e_r=0 . Тогда среди векторов e₁ , ... , e_r найдется либо один вектор e_i , либо пара векторов e_j и e_k , которые в сумме с e₀ дают вектор e длины не больше 1 (либо | e₀+ e_i| 1 , либо | e₀+ e_j+ e_k| 1 ). Во втором случае | e₀+ e_j|< .

Доказательство. Начертим два луча, OA и OB , образующие с e₀ углы в 120^o (рис.2). Если среди e₁ , ... , e_r найдется вектор, лежащий внутри (или на сторонах) AOB , то его и примем за e_i .

Пусть такого вектора среди e₁ , ... , e_r нет. Проведем тогда через точку O прямую CD e₀ . Среди векторов e₁ , ... , e_r обязательно окажется вектор, лежащий внутри AOC или внутри BOD (иначе не выполняется условие e₀+ e₁+...+ e_r=0 ). Пусть для определенности хотя бы один из векторов e₁ , ... , e_r лежит внутри BOD . Ближайший к OB из таких векторов назовем e_j , а луч, направленный противоположно ему, обозначим через OE . Хотя бы один из векторов e₁ , ... , e_r лежит внутри AOE (иначе опять не выполняется условие e₀+ e₁+...+ e_r=0 ). Ближайший к OA из этих векторов назовем e_k . Угол между e_j и e_k меньше 180^o , но больше AOB= 120^o . Значит, сумма e_j+ e_k , образует и с e_j и с e_jk угол, больший 60^o . Значит, вектор e_j+ e_k лежит внутри AOB , и, следовательно, | e₀+ e_j+ e_k| 1 . При этом | e₀+ e_j|< .

Из леммы2 сразу следует, что в задаче M275 а) векторы можно занумеровать так, чтобы при всяком k n сумма первых k векторов имела длину меньше (доказательство– индукцией по n ).

Усложняя доказательство, можно еще улучшить оценку в задаче M275 а), а именно– заменить на .

Упражнение2. Получите в задаче M275 а) оценку . Докажите, что улучшить эту оценку уже нельзя, т.е. покажите, что для любого положительного C< можно указать на плоскости n единичных векторов с суммой 0 , таких, что, как бы их ни обозначать через v₁ , ... , v_n , при некотором k окажется справедливым неравенство | v₁+...+ v₁k|>C .

Было бы интересно получить неулучшаемую оценку и в задаче M275 б) (автору она неизвестна). Впрочем, для цели, ради которой предлагалась задача M275, точная оценка как раз не нужна. Упомянутая цель– доказательство комплексной теоремы Римана (см."Квант", 1973, #9. "От перемены мест слагаемых", упражнения22 и23).

Упражнение3. Опираясь на M275 б), выполните упражнение22 из статьи "От перемены мест слагаемых".

Источники и прецеденты использования