Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением  ^a/_{cos α} = ^b/_{cos β},  то треугольник – равнобедренный.

   Решение

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

   Решение

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

   Решение

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  X + Y = 10²⁰⁰.  Доказать, что X делится на 50.

   Решение

а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности взять сумму?

   Решение

Исследуйте последовательности на сходимость:
а) x_{n + 1} = ,    x₀ = 1;
б) x_{n + 1} = sin x_n,     x₀ = a (0;);
в) x_{n + 1} = ,    a > 0, x₀ = 0.

   Решение

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

+ + 3.

   Решение

Докажите, что если в выражении  (x² – x + 1)²⁰¹⁴  раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.

   Решение

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

   Решение

Докажите равенство:  
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

   Решение

Из точки A проведены два луча, пересекающие данную окружность: один — в точках B и C, другой — в точках D и E. Известно, что AB = 7, BC = 7, AD = 10. Найдите DE.

   Решение

На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.

   Решение

Темы:    [ Метрические соотношения (прочее) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.

Решение

Предположим, что на сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABB₁A₁, BCC₂B₂, ACC₃A₃ и вершины A₁, B₁, B₂, C₂, C₃, A₃ лежат на одной окружности S. Серединные перпендикуляры к отрезкам A₁B₁, B₂C₂, A₃C₃ проходят через центр окружности S. Ясно, что серединные перпендикуляры к отрезкам A₁B₁, B₂C₂, A₃C₃ совпадают с серединными перпендикулярами к сторонам треугольника ABC, поэтому центр окружности S совпадает с центром описанной окружности треугольника. Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O. Расстояние от точки O до прямой B₂C₂ равно  R cos A + 2R sin A, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Поэтому   OB₂² = (R sin A)² + (R cos A+2R sin A)² = R²(3 + 2(sin 2A - cos 2A)) = R²(3 - 2cos(45^o + 2A)). Ясно, что для того, чтобы треугольник обладал требуемым свойством, необходимо и достаточно, чтобы  OB₂² = OC₃² = OA₁², т. е.   cos(45^o + 2A) = cos(45^o + 2B) = cos(45^o+2C). Это равенство выполняется при A = B = C = 60^o. Если же AB, то (45^o + 2A) + (45^o + 2B) = 360^o, т. е. A + B = 135^o. Тогда C = 45^o и A = C = 45^o, B = 90^o (или B = 45^o,A = 90^o). Мы видим, что треугольник должен быть либо равносторонним, либо равнобедренным прямоугольным.

Источники и прецеденты использования