Версия для печати
Убрать все задачи

---

Квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  таков, что уравнение  f(x) = x  не имеет вещественных корней.
Докажите, что уравнение  f(f(x)) = x  также не имеет вещественных корней.

   Решение

---

Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {a_n} имеет два различных корня x₁ и x₂. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

   Решение

---

Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.

   Решение

---

Из последовательности  a,  a + d,  a + 2d,  a + 3d, ...,  являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^a/_d  рационально. Докажите это.

   Решение

---

На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — фальшивые, остальные — настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно фальшивые, а остальные — настоящие. Сможет ли он это сделать?

   Решение

---

а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

б) Даны натуральные числа k и n, причём  1 < k < n.  Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m ладей на доске размером n×n клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?

   Решение

---

а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.

б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?

   Решение

---

Даны два треугольника A₁A₂A₃ и B₁B₂B₃. "Опишите" вокруг треугольника A₁A₂A₃ треугольник M₁M₂M₃ наибольшей площади, подобный треугольнику B₁B₂B₃ (вершина A₁ должна лежать на прямой M₂M₃, вершина A₂ – на прямой A₁A₃, вершина A₃ – на прямой A₁A₂).

   Решение

---

На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее и наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее, а среди наибольших выбрали наименьшее и сравнили полученные два числа. Какую форму имеет клякса, если эти два числа равны между собой?

   Решение

Темы:    [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ] [ Экстремальные свойства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее и наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее, а среди наибольших выбрали наименьшее и сравнили полученные два числа. Какую форму имеет клякса, если эти два числа равны между собой?

Решение

Пусть A — точка кляксы, наименьшее расстояние от которой до границы кляксы равно r₀ — наибольшему из наименьших расстояний. Тогда круг радиуса r₀ с центром в точке A содержится внутри кляксы (если бы этот круг не содержался полностью внутри кляксы, то какая-то точка границы кляксы оказалась бы внутри круга, и расстояние до неё от точки A было бы меньше r₀, что противоречит выбору r₀). Аналогично, если В — точка кляксы, наибольшее расстояние от которой до границы кляксы равно R₀ — наименьшему из наибольших, то вся клякса содержится в круге радиуса R₀ с центром в точке В. Итак, первый построенный круг содержится в кляксе, а клякса в свою очередь содержится во втором круге. Но по условию

откуда следует, что круги совпадают; значит, совпадают и точки A и В, а клякса имеет форму круга с центром в точке A(= B) радиуса ρ.

Источники и прецеденты использования