Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
7 волков съедают 7 баранов за 7 дней. За сколько дней 9 волков съедят 9 баранов?
Теннисист для тренировки играет каждый день хотя бы одну партию; при этом, чтобы не перетрудиться, он играет не более 12 партий в неделю.
Докажите, что можно найти несколько таких подряд идущих дней, в течение которых теннисист сыграл ровно двадцать партий.
Известно, что натуральное число n в 3 раза больше суммы своих цифр. Докажите, что n делится на 27.
Улитка проснулась, доползла от гриба до родника и уснула. Путешествие заняло шесть часов. Улитка ползла то быстрее, то медленнее, останавливалась. За
улиткой наблюдали несколько учёных. Известно, что:
1) В каждый момент путешествия улитку наблюдал хотя бы один учёный.
2) Каждый учёный наблюдал неспящую улитку в течение одного часа (без перерыва) и говорит, что за это время улитка проползла ровно один метр.
Каково наибольшее возможное расстояние от гриба до родника?
Существует ли такое значение x, что выполняется равенство arcsin2x + arccos2x = 1?
Даны точки A и B. Где на прямой AB расположены точки, расстояние от которых до точки B больше, чем до точки A?
При организации экспедиции на Эверест участниками было установлено
четыре высотных лагеря (не считая базового), на растоянии дня пути друг
от друга, после чего все спустились вниз. Пересчитав запасы, руководитель
решил, что надо занести еще один баллон кислорода в четвертый лагерь, а
потом всем опять вернуться вниз на отдых. При этом каждый участник
1) может нести вверх не больше трех баллонов,
2) сам тратит в день ровно один баллон кислорода.
Какое наименьшее количество баллонов придется взять из лагеря для достижения
поставленной цели? (Оставлять баллоны можно только в лагерях.)
По кругу написано семь натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.
Встретились несколько аборигенов (каждый — либо лжец, либо — рыцарь), и каждый заявил всем остальным: «Вы все — лжецы». Сколько рыцарей было среди них?
Доказать, что уравнение 19x² – 76y² = 1976 не имеет решений в целых числах.
На каждой клетке доски размером 9×9 сидит жук, По свистку каждый из жуков переползает в одну из соседних по диагонали клеток. При этом в некоторых клетках может оказаться больше одного жука, а некоторые клетки окажутся незанятыми.
Докажите, что при этом незанятых клеток будет не меньше 9.
Разбейте куб на три пирамиды.
Имеется 4n положительных чисел, таких, что из любых четырёх попарно различных можно составить геометрическую прогрессию. Доказать, что среди этих чисел найдется n одинаковых.
Докажите, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти
целых чисел.
Например, 52 = 4³ + (−3)³ + 2³ + 2³ + (−1)³.
|
|
 |
Условие
Докажите, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти
целых чисел.
Например, 52 = 4³ + (−3)³ + 2³ + 2³ + (−1)³.
Подсказка
Докажите, что каждое число, кратное 6, можно представить в таком виде.
Решение
(n + 1)³ + (n – 1)³ – 2n³ = 6n. Итак, любое число, кратное 6, представляется в виде суммы четырёх кубов. Добавив 0, получим сумму пяти кубов. Добавляя ± 1, ± 8, 27, представим в виде суммы пяти кубов соответственно все числа, дающие при делении на 6 остатки ± 1, ± 2, 3.
